gelijk product en som
Opgave - APMO 2014 dag 1 vraag 1
Voor $m \in \mathbb N$ schrijven we $S(m)$ en $P(m)$ voor de som en product resp. van de cijfers van $m$.
TB: $ \forall n \in \mathbb N $, bestaat er $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb N$ zodat $
S(a_1) < S(a_2) < \cdots < S(a_n) \text{ en } S(a_i) = P(a_{i+1}) \quad (i=1,2,\ldots,n). $ (waarbij $a_{n+1} = a_1$)
- login om te reageren
Oplossing
Voor $n=1$ voldoet ieder enkel cijfer.
Voor $n \ge 2$, construeren we getallen die bestaan uit een aantal negens en een aantal enen na elkaar als volgt;
we kiezen
$$a_1=\underbrace{99 \ldots 99}_{\text{2n+1 }9s} \underbrace{11 \ldots 11}_{9^{n+2}-9(2n+1)\ 1en}$$
en voor $2 \le i \le n$ stellen we
$a_i=\underbrace{99 \ldots 99}_{n+i\ 9s}\underbrace{11 \ldots 11}_{9^{n+i+1}-9(n+i)\ 1en}.$
Al deze getallen zijn goed gedefinieerd omdat $9^{n+2}>9(2n+1) \mbox{ en } 9^{n+i+1}>9(n+i)$.
Vervolgens bewijzen we dat deze getallen voldoen:
Merk op dat
$$P(a_1)=9^{2n+1} \mbox{ en } S(a_1)=9^{n+2}$$
en
$$P(a_i)=9^{n+i} \mbox{ en } S(a_i)=9^{n+i+1}$$
voor $2 \le i \le n$.
Dit betekent dt $S(a_i)=P(a_{i+1})=9^{n+i+1}$ voor elke $1 \le i \le n-1$ en $S(a_n)=P(a_1)=9^{2n+1},$ waaruit de conclusie volgt.