COMBI III
Opgave - BrMO 2 2014 dag 1 vraag 1
Iedere diagonaal van een regelmatige $2014$hoek wordt in $1$ van $n$ kleuren gekleurd op zodanige wijze datals $2$ diagonalen snijden in het inwendige van de $2014$hoek, ze een verschillend kleur hebben.
Hoeveel is $n$ minimaal?
- login om te reageren
Oplossing
In het middelpunt van de regelmatige $2014$-hoek komen $\frac{2014}{2}=1007$ diagonalen samen, dus $n$ is minimaal $1007$. Dit minimum kan ook verkregen worden:
Neem twee tegenoverliggende hoekpunten en zigzag met een kleur tussen de andere punten waarbij je telkens van kant verwisselt zoals in de figuur (die ik hier niet kan plaatsen blijkbaar) Doe dit met alle paren van tegenoverliggende hoekpunten telkens met een andere kleur.
Elke kleur verbindt $2012$ punten dus kleurt $2011$ diagonalen. Met $1007$ kleuren worden
er nu $1007\cdot 2011$ diagonalen gekleurd. Nu heeft een $2014$-hoek precies
$\frac{2014\cdot 2011}{2}=1007\cdot 2011$ diagonalen. Ook is er geen enkele diagonaal twee keer gekleurd, omdat elk kleurpatroon een draaiing is van een ander kleurpatroon (geen volledige draai natuurlijk). Nu zijn alle diagonalen gekleurd en geen enkele kleur snijdt zichzelf strikt binnen de veelhoek.