makkelijk kwadraat

Opgave - VWO 2012 dag 1 vraag 2

Zij $n$ een natuurlijk getal. Noem $a$ het kleinste natuurlijk getal dat je van
$n$ moet aftrekken om een volkomen kwadraat te verkrijgen.

Noem $b$ het kleinste natuurlijk getal dat je bij $n$ moet optellen om een volkomen kwadraat te verkrijgen.
Bewijs dat $n-ab$ een volkomen kwadraat is

Oplossing

Indien $n$ een volkomen kwadraat is, zijn $a=b=0$ en is $n-ab=n$ inderdaad een volkomen kwadraat.

In het andere geval bestaat er een natuurlijke $x$ zodat :

$n-a=x^2$ en $n+b=(x+1)^2$, hieruit volgt dat
$n+b - (n-a)=(x+1-x)(x+1+x) \Leftrightarrow a+b=2x+1$. Beide leden vermenigvuldigen met b geeft: $ab+b^2=2xb+b$, dus $ab=2xb+b-b^2$. Vanaf nu wordt het enkel substitutie:

$n-ab$
$=((x+1)^2 - b)-(2xb+b-b^2)$
$=x^2+1+2x-b-2xb-b+b^2$
$=x^2+2x(1-b)+1-2b+b^2$
$=x^2+2x(1-b)+(1-b)^2$
$=(x+1-b)^2$

En dus is $n-ab$ een kwadraat.

Indien n een volkomen kwadraat is, was het triviaal, in het andere geval:

We hebben al dat $n-a=x^2$ en $n+b=y^2$.
Deze twee vergelijkingen vermenigvuldigen geeft: $n^2-an+bn-ab=(xy)^2$
Beide leden $+n-n^2+an-bn$ doen geeft: $n-ab=(xy)^2+an-bn+n-n^2=(xy)^2+n(a-b+1)-n^2$
De eerste twee vergelijkingen optellen geeft:$2n-a+b=x^2+y^2$, zodat $a-b+1=2n-x^2-y^2+1$. Dit invullen geeft: $n-ab=(xy)^2+n(2n-x^2-y^2+1)-n^2$
$=(xy)^2+2n^2+n(-x^2-y^2+1)-n^2$
$=(xy)^2+n(-x^2-y^2+1)+n^2$
Uit de vraag kunnen we echter ook opmaken dat $y^2=(x+1)^2$. Dit invullen geeft:
$n-ab=x^2(x+1)^2-n(x^2+x^2+2x+1-1)+n^2$
$=x^2(x+1)^2-n(2x)(x+1)+n^2$
$=(x(x+1))^2-2nx(x+1)+n^2$
$=(x(x+1)-n)^2$

Zij $k^2 \le n < (k+1)^2$. Noem $n = k^2 + x$ met $0 \le x < 2k+1, x \in \mathbb{N}$.
Dan is $a = x$ en $b = (2k+1)-x$. Hierdoor is $n - ab = k^2 + x - (2kx+x-x^2) = k^2 -2kx + x^2 = (k-x)^2$ Simpelste VWO vraag ooit