gonio ongelijkheden
Opgave - VWO 2012 dag 1 vraag 3
(a)
Toon aan dat voor elke hoek $\theta$ en voor elk natuurlijk getal $m$:
$|sin (m \theta )|\le m | sin (\theta )|.$
(b)
Toon aan dat voor alle hoeken $\theta_1$ en $\theta_2$ en voor alle even natuurlijk getallen $m$ :
$|sin (m \theta_2 )- sin (m \theta_1) | \le m |sin (\theta_2- \theta_1)|$
(c)
Toon aan dat er voor elk oneven natuurlijk getal $m$ twee hoeken, resp.
$\theta_1$ en $\theta_2$, bestaan waarvoor de ongelijkheid in (b) niet geldig is.
- login om te reageren
Oplossing
$(a)$ voor $m=0$ en $m=1$ is het triviaal. Neem aan dat de uitdrukking voor $m=n$ correct is. Dan is $\mid sin(n+1)\theta)\mid=\mid sin(n\theta) cos(\theta)+sin(\theta)cos(n\theta)\mid\le \mid sin(n\theta)\mid+\mid sin(\theta)\mid\le (n+1)|sin(\theta)|$ Dus met inductie naar $n$ concluderen we dat de stelling voor elke $m$ klopt.
$(b)$
stel $m=2k$, dan is $\mid sin(2k\theta_2)-sin(2k\theta_1)\mid=\mid 2cos(k(\theta_2+\theta_1)sin(k(\theta_2-\theta_1)\mid\leq 2\mid sin(k(\theta_2-\theta_1)\mid$
Dat laatste is wegens $(a)$ inderdaad kleiner als $2k\mid sin(\theta_2-\theta_1)\mid$
$(c)$ neem bijvoorbeeld $\theta_2=\pi/2$ en $\theta_1=-\pi/2$
Stel dat de ongelijkheid voor oneven $m$ dan klopt. Dan is $\mid sin(\frac12m\pi)-sin(-\frac12m\pi)=2\mid \sin(\frac12m\pi) |\mid\leq 0$. Aangezien een absolute waarde positief is, moet dan $sin\frac12m\pi=0$. Dat is voor oneven $m$ een duidelijke onmogelijkheid.