product van 4 priemgetallen

Er geldt: $(*)$
$3p_2 + 5p_3 + 7p_4 \equiv 0 (mod 2)$
$p_2 + p_3 + p_4 \equiv 0 (mod 2)$

$11p_1 + 7p_2 + 5p_3 \equiv 0 (mod 2)$
$p_1 + p_2 + p_3 \equiv 0 (mod 2)$

Optellen geeft:
$p_1 + p_4 \equiv 0 (mod 2)$, wat betekent dat ze ofwel allebei $2$ zijn, ofwel geen van beide.

Stel: $p_1,p4=2$
$3p_2+5p_3=144$
$7p_2 + 5p_3=132$
Dit zou geven dat $p_2<0$, wat natuurlijk niet kan.

Noch $p_1$, noch $p_4$ is dus gelijk aan $2$, waardoor uit $(*)$ volgt dat ofwel $p_2$, ofwel $p_3$ wél gelijk is aan $2$.

Stel: $p_2=2$
$9p_1 -3p_4 =- 4p_2 =- 8$, wat tevens onmogelijk is, modulo 3. ( de 2 vergelijkingen van elkaar aftrekken)

Er geldt dus: $p_3=2$, waarbij de andere priemgetallen $\geq 3$ zijn
$2p_1 + 3p_2 + 7p_4 = 152$
$11p_1 + 7p_2 + 4p_4 = 152$

$14p_1 + 21p_2 + 49p_4 - 33p_1 - 21p_2 - 12p_4=4*152$
$-19p_1 + 37p_4 =4*152=2^5*19$
$37p_4=19(2^5+p_1)$

Gezien $19|37p_4$ geldt $p_4=19$ en dus $p_1=5$

Nu kunnen we gemakkelijk $p_2$ berekenen:
$10 + 3p_2 + 133 = 152$
$3p_2=9$
$p_2=3$

Aangezien we nu de enige mogelijke waarde voor elk van de vier getallen gevonden hebben, is de enige mogelijke waarde van hun product dus $2*3*5*19=570$.