oneliner in ringtheorie
Opgave - IMC 1999 dag 2 vraag 1
Zij $R$ een ring waar geldt dat $\forall a\in R \colon a^2=0$. Bewijs dat $abc+abc=0$ geldt voor alle $a,b,c\in R$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 2 gasten online.
Oplossing
Kies willekeurig $a,b,c\in R$. Dan is $$\begin{align}abc+abc&=abc+(bca-bca)-(cab-cab)+abc\\&=(abc+bca)-(bca+cab)+(cab+abc)\\&=(a+bc)^2-a^2-(bc)^2-(b+ca)^2+b^2+(ca)^2+(c+ab)^2-c^2-(ab)^2\\&=0\end{align}$$ want alle kwadraten zijn nul.