groot stelsel
Opgave - JWO 2013 dag 1 vraag 3
In de volgende gelijkheden stellen verschillende letters, verschillende getallen uit de
verzameling $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ voor.
$S + T + E + A + K = D + I + N + E + R$
$D + R + I + N + K = S + A + N + T + E$
$D + A + K + E + N = S + T + R + I + K$
$E + R + I + K + A = D + A + N + S + T$
$I + N + D + R + A = S + T + E + R + K$
Welke getalwaarde heeft dan $A + N + K + E + R?$
- login om te reageren
Oplossing
Uit (1) en (5) volgt dat A-R = STEAK-STERK = DINER-INDRA = E-A, dus 2A = E+R. Uit (1) en (2) volgt dat K-N = STEAK-SANTE = DINER-DRINK = E-K, dus 2K = E+N. Uit (1) en (3) volgt dat E+A-R-I = STEAK-STRIK = DINER-DAKEN = I+R-A-K, dus 2A+E+K = 2R+2I. Door (3) en (4) bij elkaar op te tellen, vinden we dat A+K+2E = 2S+2T.
Deze vier vergelijkingen impliceren dat A, E, K, N en R dezelfde pariteit hebben (even/oneven). Omdat er slechts 4 even getallen in $\{1,2,\ldots,9\}$ zitten, zijn A, E, K, N en R allemaal oneven en dus vormen zij een permutatie van de getallen 1, 3, 5, 7, 9. In het bijzonder is hun som gelijk aan $1+3+5+7+9 = 25$.
Het valt op dat die letters dezelfde zijn als die van het woord anker.
Alle getallen uit de verzameling zijn natuurlijke getallen, dus is de som van alle termen in elke
In elke vergelijking worden 9 verschillende letters gebruikt en dus ook de 9 verschillende waarden. Aangezien alle vergelijkingen uit 10 termen bestaat, is er telkens een letter die 2 keer wordt gebruikt: 1 keer in het linkerlid en 1 keer in het rechterlid.
Het valt op dat die letters dezelfde zijn als die van anker. De som van alle termen van elke vergelijking moet even zijn omdat alle letters de waarden van natuurlijke getallen hebben. Hieruit volgt dat de cijfers die de getallen voorstellen die 2 keer voorkomen, oneven moeten zijn. De 5 letters van anker zijn allemaal verschillend en er zijn maar 5 oneven cijfers in de verzameling, dus $A+N+K+E+R=1+3+5+7+9=25$