combimeetkunde
Opgave - JWO 2013 dag 1 vraag 4
Anton de mier maakt een wandeling langs de hoekpunten van een kubus. Hij begint in een hoekpunt en stopt als hij dit punt opnieuw bereikt. Tussen twee hoekpunten verplaatst hij zich over een ribbe, een zijvlakdiagonaal of een ruimtediagonaal. Onderweg bezoekt hij elk van de andere hoekpunten precies één keer en nergens snijdt hij zijn reeds afgelegde weg.
$(a)$ Toon aan dat Anton langs minstens één ribbe wandelt.
$(b)$ Toon aan dat Anton langs minstens twee ribben wandelt.
- login om te reageren
Oplossing
$(a)$
er zijn in elke kubus 12 uitwendige diagonalen en 4 ruimtediagonalen.
de mier snijdt zijn route niet, dus hij kan max. 6 van de 12 zijvlakdiagonalen gebruiken en max. 1 ruimtediagonaal (ze zijn alle 4 concurrent). omdat hij minimum 8 wegen nodig heeft, volgt analoog dat hij zeker 1 ribbe moet gebruiken.
$(b)$
wanneer de mier 1 zijvlakdiagonaal belopen heeft, kan hij langs twee zijvlakdiagonalen verdergaan (diegeen die hij net belopen heeft niet). wanneer hij er twee opeenvolgende belopen heeft, schiet er nog maar 1 zijvlakdiagonaal over die hij kan gebruiken (die naar het voetpunt van de eerste diagonaal valt weg omdat de mier geen circuit mag maken). als hij er drie na elkaar heeft afgelegd, is de mier genoodzaakt een ruimtediagonaal of een ribbe te gebruiken, want alle drie de zijvlakdiagonalen zijn onbegaanbaar (nu ook die naar het voetpunt van de tweede diagonaal is versperd).
conclusie: Anton kan max. 3 zijvlakdiagonalen na elkaar gebruiken.
hierop bouwen we voort: wanneer de mier optimaal de zijvlakdiagonalen wilt gebruiken (max. 6). dan mogen deze geen ketens vormen langer dan 3. er zijn 2 mogelijkheden:
-de mier gebruikt twee ketens van 3 zijvlakdiagonalen:
de ketens hebben elk 4 hoekpunten nodig en liggen dan altijd symmetrisch rond elkaar. als je dan het circuit van 8 wegen wilt afmaken, heb je twee ruimtediagonalen nodig. dat is onmogelijk want de ruimtediagonalen zijn concurrent, en de mier mag zijn route niet snijden.
-de mier gebruikt 3 ketens van zijvlakdiagonalen: 1 van 3, 2 en 1
de keten van 3 bezet 4 hoekpunten en die van 2 bezet er 3. er blijft dan maar 1 hoekpunt over dat het laatste zijvlakdiagonaal kan gebruiken, wat een duidelijke onmogelijkheid is.
in alle andere gevallen gebruikt de mier minder dan 6 zijvlakdiagonalen en is het triviaal dat er twee ribbes worden gebruikt
$\blacksquare$