Ken je Grieken

Tags:

Opgave - VWO 2013 dag 1 vraag 4

Beschouw (in het vlak) drie concentrische cirkels met stralen $1$, $2$ en $3$ en de gelijkzijdige driehoek $\Delta$ zodanig dat op elk van de drie cirkels één hoekpunt van $\Delta$ ligt. Bereken de lengte van de zijden van $\Delta$.

Oplossing

Noemen we het middelpunt O, en het hoekpunt op de cirkels met straal 1, 2 en 3 respectievelijk A, B en C, dan blijkt dat
$|OA||BC| + |OB||AC| = |OC||AB|$

Vanwege Ptolemaeus geldt dan dat ACBO een koordenvierhoek is. In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken supplementair, zodat AÔB = 120 graden

De cosinusregel geeft uiteindelijk: $|AB|^2 = 2^2 + 1^2 - 2*1*2* cos(120) = 4 + 1 + 2 = 7$
Zodoende heeft de driehoek zijde $\sqrt 7$