constante som der oppervlakken

Opgave - Putnam 1998 dag 1 vraag 2

Zij $s$ een koorde in de eenheidscirkel in het cartesisch vlak die volledig in het eerste kwadrant ligt. Zij $A$ de oppervlakte van het gebied onder $s$ en boven de x-as.
$B$ de oppervlakte van het gebied tussen $s$ en de y-as.
( deze $2$ gebieden zijn dus twee trapezia)
Bewijs $A+B$ enkel afhangt van de lengte van de koorde $s$ en niet van de ligging.

Oplossing

De eindpunten van de koorde noemen we $P$ en $Q$, de hoek tussen de $x$-as en $OP$ noemen we $\alpha$ en de hoek tussen $OP$ en $OQ$ noemen we $\beta$.
Noem $P',Q'$ de projecties van $P$ en $Q$ op de $x$-as respectievelijk en $P''$, $Q''$ hun projecties op de $y$-as.
Merk op dat $P'Q'=\cos \alpha-\cos(\alpha+\beta)$ en $P''Q''=\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha)$.
Tevens is $OP'=\cos(\alpha+\beta)$ en $OP''=\sin(\alpha+\beta)$.
Merk nu op dat $P'Q' \cdot OP''$ gelijk is aan $A$ plus de doorsnede van $A$ en $B$.
Ook is $P'' Q'' \cdot OP'$ gelijk aan $B$ min de doorsnede van $A$ en $B$.
Dan is $A+B=(\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta))\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+\beta)(\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha)$, wat na toepassing van de somformules voor sinus en cosinus uitkomt: $(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\sin\beta=\sin\beta$. Die uitdrukking is alleen afhankelijk van $\beta$ en bijgevolg alleen afhankelijk van de lengte van de koorde.