Rationaal als breuk van priem faculteiten

inductiebasis:

$1=\frac{2!}{2!}$
$2=2!$
$3=\frac{3!}{2!}$
$5=\frac{5!}{2!*2!*3!}$

Laat alle natuurlijke getallen groter dan $ 0$ en kleiner dan $k$ geschreven kunnen worden als een breuk met faculteiten van priemgetallen. (inductiehypothese IH)
Het is duidelijk dat ieder getal dat een product is van getallen kleiner dan $k$ te schrijven is in de gewenste vorm.
Aangezien we voor iedere priemfactor de corresponderde breuk van de juiste vorm hebben, kunnen we door die breuk te vermenigvuldigen een nieuwe breuk hebben van de gewenste vorm.
Dit betekent dat als $k$ samengesteld is, ook $k$ van de juiste vorm zal kunnen worden geschreven.

Indien $k$ priem is, kan $(k-1)!$ worden geschreven als het product van getallen kleiner dan $k$ die wegens de $IH$ als breuk van de juiste vorm te schrijven zijn.
Dit betekent dat $\frac{k!}{ (k-1)!}$ na het uitwerken van de gesubstitueerde breuken voor $(k-1)!$ van de gewenste vorm is.

Met volledige inductie geldt het voor ieder natuurlijk getal. Door dit te doen voor de teller en dan te vermenigvuldigen met de inverse van de noemer, geldt het dus voor ieder positief rationaal getal.