NT getaltheorie basis

Als er een waarde $a,b =0$, geldt dat de uitdrukking nul is, wat voldoet aan de VW'en.

In het andere geval:
Omdat $ab=kgv(a,b)*ggd(a,b)$ is de uitdrukking gelijkwaardig met
$ggd(a,b)+kgv(a,b)-\frac{ggd(a,b)kgv(a,b)}{b}-b$
of
$\frac{b*ggd(a,b)+b*kgv(a,b)-ggd(a,b)*kgv(a,b)-b^2}{b}$. Omdat $b$ positief is, moeten we nog bewijzen dat te teller positief is.
Wel, de teller kan kan ontbonden worden als
$(kgv(a,b)-b)(b-ggd(a,b))$ En omdat $kgv(a,b) \geq b$ en $ggd(a,b) \leq b$ $\forall a,b \in \mathbb N$ Is de teller ook groter of gelijk aan $0$.

Nu bewijzen we dat de uitdrukking even is.
Even de formules van ggd en kgv opschrijven: als $a=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}$ en $b=p_1^{b_1}*p_2^{b_2}\cdots p_n^{b_n}$ dan is

$ggd(a,b)=\prod_{p} p^\min(a_1,b_1)$ en $kgv(a,b)=\prod_{p} p^\max(a_1,b_1)$

Stel nu dat $a$ en $b$ beide even zijn, dan hebben ze allebei een priemfactor $2$. Dus zijn het minimum en maximum van de exponenten beide groter dan 0. Dit wil zeggen dat hun ggd en kgv beide even zijn. Dit is voldaan.

Stel dat $a$ en $b$ beide oneven zijn. Dan hebben ze beide geen priemfactor $2$. Dus is de exponent van de $2$ in hun factorisatie beide $0$. Bijgevolg ook hun min en max. Dit wil zeggen dat hun ggd en kgv beide oneven zijn.
Omdat $oneven+oneven-oneven-oneven=even$ is de uitspraak dus even.

Stel als laatste zonder verlies van algemeenheid dat $a$ oneven is en $b$ even.
Dan heeft $a$ geen priemfactor $2$( dus exponent $0$) en $b$ wel een exponent groter dan $0$. Dus het minimum is $0$ en het maximum niet. Hieruit volgt dat hun ggd oneven is en hun kgv even.
We krijgen dus $oneven+even-oneven+even=even$ Dus ook dit is voldaan.

Hiermee zijn alle gevallen afgegaan en is in iedere case bewezen dat het klopt.