mooie meetkunde in '12

Tags:

Opgave - VWO 2012 dag 1 vraag 4

In $\bigtriangleup ABC$ is $ \widehat A=66^\circ$ en $|AB|<|AC|$.
De buitenbissectrice in $A$ snijdt $ BC$ in $D$ en $ |BD|=|AB|+|AC|.$
Bepaal de hoeken van $ \bigtriangleup ABC. $

Oplossing

Construeer punt $P$ op $AB$ zodat $A$ tussen $B$ en $P$ ligt, en zodat $|AP|=|AC|$ zodat $\triangle APC$ gelijkbenig is.
$DA$ is dan de middelloodlijn, bissectrice, dus $\triangle DPC$ is ook gelijkbenig,
en heeft als symmetrie-as $AD$. Dus $\angle BCA=\angle DPB$.

Nu is $|DB|=|AB|+|AC|=|AB|+|AP|=|BP|$ dus $\triangle DBP$ is gelijkbenig.
Dit betekent dat $\angle DPA=\angle PDB$ zodat $\angle ABC=2\angle DPB=2\angle BCA$. Zo vinden we de twee hoeken: $\widehat{B}=76^\circ$ en $\widehat{C}=38^\circ$