bijna een Taylorontbinding = 0

Merk op dat $1+x+\frac{x(x+1)}{2!}+ \cdots + \frac{x(x+1)\cdots(x+n)}{(n+1)!}$
$=(x+1)\left (1+\frac{x}{2!}+\frac{x(x+2)}{3!}+\cdots+\frac{x(x+2)\cdots(x+n)}{(n+1)!}\right)$
$=(x+1)(x+2)\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{3!}+\cdots+\frac{x(x+3)\cdots(x+n)}{(n+1)!}\right)$
$=(x+1)(x+2)\left(\frac{3}{3!}+\frac{x}{3!}+\cdots+\frac{x(x+3)\cdots(x+n)}{(n+1)!}\right)$
$=\cdots$
$=(x+1)(x+2)\cdots(x+n)\left(\frac{1}{n!}+\frac{x}{(n+1)!}\right)$
$=\frac{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)(x+n+1)}{(n+1)!}$

Dit bewijzen we met inductie:
$1+x+\frac{x(x+1)}{2!}+ \cdots + \frac{x(x+1)\cdots(x+k)}{(k+1)!}=\frac{(x+1)(x+2)\cdots(x+k)(x+k+1)}{(k+1)!}$

voor $k=0,1$ is dat triviaal. $(IB)$

Stel dat het gevraagde nu klopt voor $k$ van $0$ tot $n-1.$ $(IH)$

We schrijven $C=(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$

Voor $k=n$ zien we dat

$LL'=LL+\frac{x(x+1)\cdots(x+n)}{(n+1)!}=\frac{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}{n!}+\frac{x(x+1)\cdots(x+n)}{(n+1)!}=\frac{(n+1)C}{(n+1)! }+\frac{Cx}{(n+1)!}=\frac{ C(x+n+1)}{(n+1)!}$ wat de formule was voor $n$, met volledige inductie geldde de bovenstaande formule dus $\forall n \in \mathbb{N}.$

Dus de nulpunten zijn $ -1,-2,\cdots,-(n+1) .$