2 deelnemers lossen alles op

Opgave - IMC 2002 dag 2 vraag 2

$200$ personen namen deel aan een wedstrijd waarbij iedere v.d. $6$ vragen door minstens $120$ deelnemers werd opgelost. Bewijs dat er $2$ personen zijn zodat iedere vraag door minstens $1$ v.d. $2$ is opgelost.
***
opmerking: deze triviale vraag zou ook nog gelden als $120$ vervangen is door $101.$
Wat voor $100?$

Oplossing

Stel eerst dat niemand $4$ vragen correct oploste. Dan is het aantal keer dat een vraag correct werd opgelost maximaal $3\cdot 200=600$. De voorwaarde stelt echter dat er minimaal $6\cdot 120=720$ keer een vraag werd opgelost.
Contradictie.
Dus is er minstens één persoon die $4$ vragen correct oploste. De vraag is triviaal als deze persoon er $5$ of $6$ opgelost heeft. Bekijk daarom het geval waarbij die persoon exact $4$ vragen correct had. Bekijk nu de $2$ vragen $x$ en $y$ die hij fout had. Als niemand van de anderen $x$ en $y$ beide juist had, dan zou het aantal keer dat vraag $x$ en vraag $y$ correct werden opgelost maximaal $1\cdot 199=199$ zijn. De voorwaarde stelt echter dat vraag $x$ en vraag $y$ minimaal $2\cdot 120=240$ keer correct werden opgelost.
Contradictie.
Dus is er minstens één persoon de vraag $x$ en vraag $y$ correct had en bijgevolg hebben we de twee personen gevonden die samen alle vragen juist hadden.

Opm.: de redenering gaat nog altijd op als $120$ verandert wordt door $101$, maar gaat niet meer op als $120$ verandert wordt door $100$.