genererende lampjes

Zij $n$ een positief geheel getal groter dan 1. Voorts zijn er n in een cirkel
geplaatste lampen $L_0,\cdots,L_{n-1}$. Op elk moment is iedere lamp
AAN of UIT. Een reeks stappen $S_0,S1\cdots$ wordt uitgevoerd. Stap $S_j$
heeft alleen invloed op de toestand van $L_j$ (de toestand van alle andere
lampen blijft onveranderd) en wel als volgt:
(1) als $L_{j-1}$ AAN is, dan verandert $S_j$ de toestand van $L_j$ van AAN
naar UIT of van UIT naar AAN;
(2) als $L_{j-1}$ UIT is, dan verandert $S_j$ de toestand van $L_j$ niet.
De lampen zijn mod(n) genummerd, dat wil zeggen $ L_n = L_0$ etcetera. In het begin zijn alle lampen AAN. Bewijs dat
(a) er een positief getal $M(n)$ bestaat zodanig, dat na $M(n$) stappen alle
lampen weer AAN zijn;
(b) als $n = 2^k, k \in N$, alle lampen weer AAN zijn na $n^2-1$ stappen;
(c) als$n = 2^k+1, k \in N$ alle lampen weer AAN zijn na $n^2-n-1$ stappen;