PowerProbleem

info aan gebruikers; uitschrijven kan iets beter bji bepaalde inzendingen zoals deze en beheerders optimaliseren niet altijd alles

oplossing

We herformuleren het probleem als volgt: gegeven vier positieve verschillende oneven getallen $a,b,c,d$ met $ad=bc$ en $a+d=2^m$>$ b+c=2^n$ (Indien gelijkheid geldt zijn de som en het product gelijk en moeten de getallen dus op een permutatie na gelijk zijn) en tevens $a$<$d$ en $b$<$c$, bewijs dat één van hen $1$ is. Het is niet moeilijk in te zien dat deze versies equivalent zijn. We zullen bewijzen dat $m=2n-2$ in twee delen.

1 $2n-2 \ge m$

Merk op dat $ad=(2^m-a)a$ minimaal is voor $a=1$ (want $a$ is oneven en groter dan nul en kleiner dan $d$). $bc=(2^n-c)c$ is maximaal voor $b=2^{n-1}-1$ (want $b$ is oneven en groter dan nul en kleiner dan $c$). Hieruit volgt dat $2^m-1 \le ad=bc \le 2^{2n-2}-1 \Rightarrow m \le 2n-2$. Gelijkheid geldt asa $a=1$ en $b=2^{n-1}-1$. (*)

2 $2n-2 \le m$

Zij $k=\gcd(a,b)$, $l=\gcd(a,c)$, $r=\gcd(b,d)$ en $s=\gcd(c,d)$, waarbij gcd staat voor greatest common divisor (ggd). We zien dat $\gcd(a,d)=\gcd(a,2^m-a)=\gcd(a,2^m)=1=\gcd(b,c)$, dus paarsgewijs hebben $k,l,r,s$ geen gemeenschappelijke delers (groter dan één). Nu kunnen we dus schrijven dat $a=kla'$, $b=krb'$, $c=lsc'$, $d=rsd'$. Dus $a'd'=b'c'$. Maar omdat $a'$ geen delers (groter dan één) gemeenschappelijk heeft met $b'$ of $c'$, moet het één zijn. Analoog voor de rest.

Nu kunnen we dus schrijven dat $kl+rs=2^m$ en $kr+ls=2^n$. Optellen en aftrekken resp. levert $(l+r)(k+s)=2^n (2^{m-n}+1)$ (1) en $(r-l)(s-k)=2^n (2^{m-n}-1)$ (2). Merk nu op dat voor elke $2$ oneven getallen $x,y$ geldt dat $v_2(x+y) \ge 2 \Leftrightarrow v_2(x-y)=1$. Inderdaad, stel $x+y \equiv 2 \pmod 4$, dan $x-y \equiv 2-2y \equiv 0 \pmod 4$.

Stel nu dat $v_2(s-k)=v_2(r-l)=1$, dan moet $n=2$ (wegens (2)) (want $k,l,r,s$ zijn allemaal verschillend). Maar dan moet wegens (1) juist $n \ge 4$, contradictie! Met dezelfde redenering hebben we ook dat $n \ge 3$. Dus bij minstens één van beiden geldt dit niet. Stel WLOG dat dit het geval is bij $s-k$. Dan is $|s-k|$ minstens $2^{n-1}$, maar $s+k$ hoogstens $2 (2^{m-n}+1)$. Vandaar geldt dat $2^{n-1} \le |s-k|$<$s+k\le 2^{m-n+1}+2$. Omdat $n\ge 3$, is dit equivalent met $n-1 \le m-n+1$, of $2n-2 \le m$.

Uit 1 en 2 volgt nu dat $m=2n-2$. Uit (*) volgt dan het gevraagde. Q.E.D.