soixante neuf ongelijkheid
Opgave - IMO 1969 dag 2 vraag 3
Voor iedere $i\in \{1,2,\cdots,n\}$ geldt dat $x_i>0, x_iy_i > z_i^2$ waarbij alle getallen reëel zijn.
Bewijs dat:
$\frac{n^{3}}{(\sum_{i=1}^{n}x_{i}) (\sum_{i=1}^{n}y_{i})-(\sum_{i=1}^{n}z_{i})^{2}}\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}y_{i}-z_{i}^{2}}$
**
Op de IMO was dit voor het specifieke geval $n=2.$
- login om te reageren
Oplossing
Noteer $\Sigma f(x,y,z)=\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)$ voor de gemakkelijkheid.
Merk op dat ook de $y_i$ positief zijn.
We werken eerst wat in de noemer van het linkerlid. Cauchy geeft ons $\Sigma x\Sigma y\geq(\Sigma\sqrt{xy})^2$.
Nu is $(\Sigma\sqrt{xy})^2-(\Sigma z)^2=\Sigma(\sqrt{xy}-z)\Sigma(\sqrt{xy}+z)\geq(\Sigma\sqrt{xy-z^2})^2$, opnieuw met Cauchy.
De te bewijzen ongelijkheid is nu nog $\frac{n^2}{(\Sigma\sqrt{xy-z^2})^2}\leq\frac{\Sigma\frac1{xy-z^2}}n$, wat gewoon HM-QM in het kwadraat is op de getallen $\frac{1}{\sqrt{xy-z^2}}$.