Euler's ongelijkheid bewijzen

Noem $D$ het tweede snijpunt van $AI$ met de omgeschreven cirkel $\omega$ en $E$ de projectie van $I$ op $AB$. Met het bekende lemma is $|ID|=|DB|$.

De macht van $I$ t.o.v $\omega$ is $R^2-|OI|^2=|IA||ID|$.

In $\bigtriangleup AIE$ hebben we $|IA|=\frac{|IE|}{\sin\frac\alpha2}=\frac r{\sin\frac\alpha2}$. (1)

In $\bigtriangleup ABD$ hebben we $|DB|=2R\sin\frac\alpha2$ (met de sinusregel) wat ook $|ID|$ is. (2)

Vermingvuldig (1) en (2) zodat $R^2-|OI|^2=2rR$ en we zijn klaar.