fvgl. als 6 in India
Opgave - India 2012 dag 1 vraag 6
$f \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ is een functie zodat $f(0) \ne 0$, $f(1) = 0$ e,
$(i) f(xy) + f(x)f(y) = f(x) + f(y)$
$(ii)\left(f(x-y) - f(0)\right ) f(x)f(y) = 0 $
$\forall x,y \in \mathbb{Z}$ beide gelden.
$(a)$ Vind de mogelijke waarden die $f$ kan aannemen.
$(b)$ als $f(10) \ne 0$ en $f(2) = 0$, vind alle getallen $n$ zodat $f(n) \ne 0$.
- login om te reageren
Oplossing
a)
$(i)$ Stel $x=y=0$, dan vind je dat $f(0)=1$
$(ii)$ Stel $y=0$, dan is $(f(x)-1)f(x)=0$ zodat $f(x)=1$ of $f(x)=0$. Aangezien $f(0)=1$ en $f(1)=0$ komen beide waarden voor en zijn het de enige.
b)
$(ii)$ Stel $x=y+1$, dan moet $f(y+1)=0$ of $f(y)=0$. Van elke twee opeenvolgende gehele getallen moet er dus minstens één functiewaarde $0$ hebben. Dus $f(9)=0$.
$(i)$ Stel $x=y=3$, dan krijg je $f(9)+(f(3))^2=2f(3)$ en dus is $f(3)=0$ (omdat $2$ niet kan).
$(i)$ Stel $y=2$, dan $f(2x)=f(x)$. Dus $f(10)=1=f(2*5)=f(5)$, en $f(4)=f(2*2)=f(2)=0$.
$(ii)$ Stel $x=5$ en $y=10$, dan moet $f(-5)=1$, omdat de andere factoren niet $0$ kunnen zijn.
$(ii)$ Stel dat er nu een getal $n$ is waarvan de functiewaarde $1$ is, dan moet $(f(n\pm5)-1)f(n)f(\pm5)=0$, en dus $f(n\pm5)=1$. Bijgevolg hebben dan alle getallen van de vorm $n+5k,\;\; (k\in\mathbb{Z})$ functiewaarde $1$, en moet er dus van zo'n reeks minstens één getal in het interval $[0;4]$ zitten.
Nu is $f(0)=1$, $f(1)=0$, $f(2)=0$, $f(3)=0$ en $f(4)=0$, dus de enige reeks getallen is $5k,\;\; (k\in\mathbb{Z})$.