a+b+c|P(a)+P(b)+P(c)

We gaan eerst aantonen dat de constante term van de polynoom 0 is. Neem $a=b=c=p$ met p een priemgetal, dan moet er gelden dat p|3r met r constante term voor oneindig veel priemgetallen, bijgevolg is r=0.
Neem nu a=0 en b=(kp-1)c dan zal P(a)=0 en P(b)+P(c) deelbaar moeten zijn door p, de som is immers een veelvoud van p. Merk op dat b congruent is aan -1 mod p*c mod p= -c mod p. Hierdoor zullen de oneven termen van P(x) elkaar schrappen in P(b)+P(c) en blijf je alleen met even termen nog, sterker nog je definieer Q(x) als het polynoom bestaande uit enkel de eentermen met even graad van P(x). Er volgt nu dat P(b)+P(c) congruent is met 2Q(c) mod p en dus zal Q(c) deelbaar moeten zijn door p voor elke c en dus voor alle resten mod p als p priem is en groter dan 2. Dit impliceert dat Q(x)=0 want Q(c) is altijd eindig. We komen dus tot de conclusie dat P(x) enkel oneven termen heeft.

Lemma: $P(a+b)=P(a)+P(b)$ voor alle a,b geheel
Stel dat dit niet niet het geval is.
Neem een priemgetal $p> | P(a)+P(b)-P(a+b)|.$
Dan is $p \mid P(a)+P(b)+P(p-a-b) \equiv P(a)+P(b)-P(a+b) \pmod p$, wat een contradictie is.

Vervolgens kunnen we per inductie concluderen dat $P(k)=kP(1)$ voor elke $k \ge 0$ en daar de functie oneven is, voor alle gehele getallen.

Tot slot kunnen we eenvoudig controleren dat $P(x)=cx$ inderdaad een oplossing is.