k^{-2}

Stel $P(x)=\frac{a_1}{x+1}+\frac{a_2}{x+2}+\frac{a_3}{x+3}+\frac{a_4}{x+4}+\frac{a_5}{x+5}-\frac{1}{x}$ en stel $Q(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)P(x)$ (*) maar dan in de uitgewerkte vorm, zonder breuken.
Er geldt $P(a)=0\Rightarrow Q(a)=0$. $Q(x)$ is dan een veeltermvergelijking van de vijfde graad in $x$ met als oplossingen $\{1,4,9,16,25\}$.
En $Q(0)=-5!$ want bij het uitwerken van het product (*) staat er bij elke $a_i$ een factor $x$, maar niet bij de term $-(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$.
We hebben de nulpunten van $Q$, dus $Q(x)=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5-1)(x-1)(x-4)(x-9)(x-16)(x-25)$. Elke term van $P(x)$ geeft ons na de vermenigvuldiging (*) precies één term met $x^5$, wat de coëfficiënt vooraan verklaart.
Uit $Q(0)=-5!$ volgt nu dat $(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5-1)(0-1)(0-4)(0-9)(0-16)(0-25)=-5!$ zodat $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5-1=\frac1{5!}$.

We hebben dus dat $Q(36)=\frac1{5!} (36-1)(36-4)(36-9)(36-16)(36-25)=\frac{11!}{6!}$ (want $36-a^2=(6+a)(6-a)$ telkens).
Dan is $P(36)=\frac{11!}{6!*36*37*38*39*40*41}$.
De gevraagde waarde is $P(36)+\frac1{36}$, dus $\frac{11!}{6!*36*37*38*39*40*41}+\frac1{36}$