makkie

Neem een oplossing $(a_1,a_2 \cdots a_n)$ die voldoet aan de voorwaarden.
Dan is ook $(-a_1,-a_2 \cdots -a_n)$ een oplossing.
We zullen bewijzen dat het niet werkt voor $n=21$
( voor $n<21$ is het dan ook onmogelijk, anders konden we $21-n$ keer $0$ toe te voegen, waarna de sommen gelijk bleven en er een oplossing was voor $n'=21$)

We kunnen veronderstellen zvva dat er minstens $11$ waarden positief zijn. (zie eerste $2$ regels).
De som van alle negatieve waarden is dan $>-10$ en die van de positieve waarden dus $<10$.
Merk nu op dat $|a_i| \ge a_i^2$.
Dus $\sum a_i^2 \le \sum_{i=1}^{21} |a_i| \le | \sum_{i \in X} a_i |+ | \sum_{i \in Y} a_i |<20.$
Waarbij $X,Y$ de verzamelingen zijn met de indices van de positieve resp. negatieve getallen.

Vanaf $n=22$ lukt het wel: neem $11$ keer $\sqrt{\frac{10}{11}}$ en neem $11$ keer $-\sqrt{\frac{10}{11}}$ en vul eventueel aan met nullen.
Dan geldt dat de som van de kwadraten van deze getallen gelijk is aan $20$ is en hun som $0$ is.
Bijgevolg is $n=22$ het kleinste getal waarvoor het geldt. $\blacksquare$