deelbaarheid onmogelijk
Opgave - CanMO 2011 dag 1 vraag 1
We bekijken alle getallen die bestaan uit $70$ cijfers, nl. $1,2,3,\cdots,7$ die elk $10$ keer in een getal staan.
Bewijs dat er geen $2$ zo'n getalen zijn die elkaar delen.
- login om te reageren
Oplossing
Stel dat er wel zo'n twee getallen bestaan $x$ en $y$, waarbij $x\geq y$.
Dan geldt er dat $x$ ook het verschil van de getallen deelt.
Het positief verschil van de twee getallen is ook deelbaar door $9$, want hun cijfersom is gelijk (beide gelijk aan $280$)
Hieruit volgt dat $9x$ een deler is van $y-x>0$, aangezien $ggd(x,9)=1$ .
$x$ heeft $70$ cijfers en is groter dan $1111\cdots12$ dus $9x$ moet $71$ cijfers hebben , maar $y$ heeft er maar $70$.
Dus $9x>y-x$. Tegenspraak, dus dergelijke getallen bestaan niet.