(mn,n) vinden

$mn-1|n^3+1$
$mn-1|m^3n^3+m^3-m^2n^2+m^2n^2$
$mn-1|m^3+m^2n^2$
$mn-1|m+n^2$, want ggd$(mn-1,m^2) = 1$ (1)

Nu: $mn-1|m^2(m+n^2) - 1 + 1 = (m^3+1) + (m^2n^2-1)$
$mn-1|(m^3+1) + (mn-1)(mn+1)$
dus $mn-1|m^3+1$
Bijgevolg kunnen we WLOG zeggen dat $m \ge n$.
Nu werken we verder vanuit (1):
$mn-1 \le m+n^2$

$(m-n)(n-1) \le 1+n$
Schrijf $m=n+k$
Voor $k \ge 3$
Als $m = n+k$, dan $kn-k \le 1+ n \iff n(k-1) \le k+1$ of $n \le \frac{k+1}{k-1}$ dus $n \le 2$.
$n=1$ geeft $m=3$ en $m=2$
$n=2$ geeft $m=5$ en $m=2$.
Als $m = n+2$
dan $2n-2 \le 1+n \iff n \le 3$, dus $n=3$ geeft $m=5$ idd.
Nu, $m=n+1$
Duidelijk geen opl, want ggd$(n^2+n-1, n^3+1) = 1$
Conclusie: $(m,n) = (1,2),(2,1),(2,5),(5,2),(2,2),(1,3),(3,1),(5,3),(3,5)$