rechthoeken strikken

Tags:

Opgave - JWO 2004 dag 1 vraag 1

$2$ rechthoeken van $1*5$ worden over elkaar gelegd zodat ze $2$ overstaande hoekpunten gemeen hebben, maar de andere $2$ niet.
Ze snijden elkaar in punten $A,B$, bepaal dan
$|AB|$
en de gemeenschappelijke oppervlakte.

Oplossing

http://www2.picturepush.com/photo/a/5509230/img/Anonymous/bewijs-rh.jpg

We noemen de ene rechthoek $1$ en de andere rechthoek $2$.
De hoeken van rechthoek $1$ noemen we met de klok mee: $O$, $P$, $Y$, $X$. ($X$ en $P$ zijn de gemeenschappelijke punten)
We tekenen een rechte evenwijdig met de lange zijden van rechthoek $1$ door een punt dat uit deze rechthoek is en een hoek is van rechthoek $2$. Dat punt noemen we $Q$.
We tekenen de verlengden van de korte zijden van rechthoek $1$.
Omdat die verlengden loodrecht dor de lange zijden van rechthoek $1$ gaan, gaan ze ook loodrecht door de rechte. Hun snijpunten met de rechte noemen we $S$ en $T$.
De lengte van dat lijnstuk is dus gelijk aan de lengte van de lange zijden, namelijk $5$.

We zoeken nu $|XS|$ en $|SQ|$.
$|PT|=|YT|+1$
In rechthoek $XYTS$ is $|XS|=|YT|$, en $|XY|=|ST|$.
$|SQ|+|QT|=5 \Leftrightarrow |QT|=5-|SQ|$

In $XSQ$:
$S$ is rechthoekig, en $|XQ|=1$
Uit Pythagoras volgt dat $|XS|^2+|SQ|^2=1$.

In $QPT$:
$T$ is rechthoekig, en $|QP|=5$.
Uit Pythagoras volgt dat $|QT|^2+|PT|^2=5^2 \Leftrightarrow (5-|SQ|)^2+(|XS|+1)^2=25$

We hebben nu een stelsel met $2$ vergelijkingen met $2$ onbekenden.
Voor het gemak zullen we nu $|XS|$ $x$ noemen, en $|SQ|$ $y$.
$x^2+y^2=1$
$(5-y)^2+(x+1)^2=25 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 10y + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 10y -2x -1$
$\Rightarrow 10y - 2x -1 = 1 \Rightarrow 2x = 10y -2 \Rightarrow x= 5y-1$
$\Rightarrow (5y-1)^2+y^2=1 \Leftrightarrow 25y^2 - 10y + 1 + y^2 = 1 \Leftrightarrow 26y^2 - 10y = 0 \Leftrightarrow y * (13y - 5) = 0 \Leftrightarrow y=\frac {5}{13}$ (y=0 is te verwerpen omdat een lengte niet 0 kan zijn)
$\Rightarrow x^2 + (\frac {5}{13})^2 = 1 \Leftrightarrow x^2=1-\frac {25}{169} \Leftrightarrow x^2=\frac {144}{169} \Leftrightarrow x= \frac {12}{13}$ (een lengte kan niet negatief zijn)

We weten nu dat $|XS|=\frac {12}{13}$ en $|SQ|=\frac {5}{13}$
$\Rightarrow |QT|=5-\frac {5}{13}=\frac {60}{13}$
$\Rightarrow |PT|=1+\frac {12}{13}=25/13$

$PQT$ is gelijkvormig met $PYB$ omdat ze $2$ hoeken gelijk hebben ($P$ gemeenschappelijk en $Y=T$ zijn rechte hoeken)
Dus zijn de verhoudingen van de lengtes ook gelijk.
$\frac {|PT|}{|PY|}=\frac {|QT|}{|BY|}$
$\Rightarrow \frac {25}{13} = (\frac {60}{13})/|BY| \Rightarrow 25*|BY|=\frac {60}{13} *13 \Rightarrow |BY|=\frac {60}{25}=\frac {12}{5}=2,4$
We weten nu dat $B$ op $2,4$ ligt van $Y$.
$A$ ligt dus ook op $2,4$ van $O$ (de lange zijden van rechthoek $2$ in rechthoek $1$ zijn elkaars beeld door een puntspiegeling met het midden van rechthoek $1$ als centrum)

Nu, we kunnen $A$ en $B$ in een rechthoekige driehoek zetten met hoekpunten $A$ en $B$, en rechthoekszijden evenwijdig aan de zijden van rechthoek $1$.
We noemen de derde hoek in deze driehoek L.
$APYL$ is een rechthoek en dus is de afstand tussen $A$ en $L$ is $1$ omdat $|PY|$ $1$ is.
$|BL|$ is de lengte van een lange zijde ($=5$) min $|OA|$ en $|BY|$ (=allebei $2,4$) $\Rightarrow |BL| = 5 - 2*2,4 = 0,2$
Door Pythagoras is $|AB|^2=|AL|^2+|BL|^2 \Rightarrow |AB|^2=1+0,04 \Rightarrow |AB|^2=1,04 \Rightarrow |AB| = \sqrt {1,04}$

De oppervlakte van het overlappende gedeelte is de oppervlakte van rechthoek $1$ - de oppervlakte in rechthoek $1$ die buiten rechthoek $2$ zit.
Maw, de oppervlakte van $OPYX$ $-$ de oppervlakte van $PYB$ en $AOX$.
De oppervlakte van $OPYX = 1*5 = 5$
De oppervlakte van $PYB$ is gelijk aan $|PY|*|BY|/2 = 1,2$. De oppervlakte van $AOX$ is gelijk aan die van $PYB$ omdat ze congruent zijn ($O$ en $Y$ rechthoekig, $|BY|=|AO|$, $P=X$)
De oppervlakte van het overlappende deel is dus $5 - 2*1,2 = 5 - 2,4 = 2,6$

het kan veel simpeler:

wegens symmetrie is het gemeenschappelijke deel een ruit. als we de zijde $x$ noemen, geldt omwille van pythagoras $x=\sqrt{(5-x)^2+1}$. uitwerken geeft $x=\frac{26}{10}$. een ruit is een parallellogram, dus $opp=1*2,6=2,6$.

de gemeenschappelijke diagonaal is gelijk aan $\sqrt{26}$. de oppervlakte van een ruit is gelijk aan $\frac{|AB|*\sqrt{26}}{2}=2,6$. dus $|AB|=\frac{\sqrt{26}}{5}=\sqrt{1,04}$