geroosterde punten
Opgave - JWO 2003 dag 1 vraag 4
De roosterpunten worden met een spiraal verbonden en genummerd in volgorde.
Hierbij is punt $0$ $(0,0)$ en het $1^{e}$ punt dan $(1,0)$ gevolgd door
$(1,-1),(0,-1),(-1,-1),(-1,0),(-1,1)\cdots $
Wat zijn de coördinaten van het $2003^{de}$ punt?
- login om te reageren
Oplossing
De gegeven spiraal noemen we $s$. $s$' is deze spiraal maar dan met elk cijfer $+1$.
Deze spiraal ziet er dan zo uit:
Met na iedere hoek een volkomen kwadraat met als vierkantswortel de lengte van de zijden van de hoek.
(Dit komt doordat een vierkantje met als basis en hoogte de benen van deze hoek, dezelfde opp. heeft als het aantal verschillende getallen. Het grootste getal staat dan op het eind van het ene been.)
Dus $2003$ zal op dezelfde zijde staan als $2025$ ($45^2=2025$), want $2025$ sluit de rij met alle getallen van $2025-45=1980$ tot $2025$ af, dus ook $2003$
$2025$ is oneven dus zal deze rij zich boven het nulpunt bevinden, nl. 22 boven het nulpunt ($(45-1)/2$).
Deze rij ziet er dan als volgt uit:
$1981 ,\cdots, 2001 ,2002 ,2003 ,\cdots, 2025$
Met $2002$ als middelste getal.
Deze rij bij de originele spiraal:
$ 1980 ,1981, \cdots ,2001, 2002, 2003 ,\cdots, 2024$
$2002$ heeft coördinaten $(0,22)$ (als't midden dus $2003$ heeft $(1,22)$ als coördinaten.
Het $2003^{de}$ punt ligt op $(1,22)$.