getallen verdelen

Opgave - Bangladesh 2011 dag 1 vraag 1

Verdeel de groep $\{1,2,\cdots,4n\}$ in $2$ disjucnte deelverzamelingen met gelijke som indien dit mogelijk is.

Oplossing

Dit is inderdaad mogelijk: neem telkens twee getallen die samen $4n+1$ vormen totdat je $2n$ getallen genomen hebt zodat de som van deze getallen de helft is van de totale som ($1+2+\cdots +4n=\frac{4n\cdot (4n+1)}{2}=2n\cdot (4n+1)$ zodat de helft hiervan $n\cdot (4n+1)$ is)
$(1+(4n))+(2+(4n-1))+\cdots +(n+(3n+1))$
$=(4n+1)+(4n+1)+\cdots +(4n+1)$
$=n(4n+1)$

De twee verzamelingen worden dan $\{1, 2,\cdots , n, 3n+1, 3n+2,\cdots , 4n\}$ en $\{n+1, n+2,\cdots , 3n\}$.
$\square$