kwadratische herhaling

Zij $X$ het cijferwoord bestaande uit $n$ cijfers en zij $Y$ het repeterende getal bestaande uit $2$ maal het cijferwoord $X$ (en dus $2n$ cijfers).

Merk op dat dit wil zeggen dat $Y = (10^n + 1)\cdot X$.

Deze vraag is een "constructie getaltheorie", i.e. we zoeken een constructie om oneindig veel repeterende getallen te maken. We tonen aan dat zo'n constructie eenvoudig te vinden is wanneer $n = 11^{2k+1}$, met $k$ een natuurlijk getal.

Ten eerste hebben we door het Lifting the Exponent Lemma dat
\[\nu_p(10^n+1^n) = \nu_p(10+1) + \nu_p(n)\]
voor oneven priemgetallen $p$.
Kies nu $p=11$ en $n=11^{2k+1}$, waardoor we bekomen dat
\[\nu_{11}(10^n+1) = 2k+2\]
Splits $10^n+1$ vervolgens op in zijn kwadraatdelers en zijn kwadraatvrije delers, i.e.
\[10^n + 1 = a^2 \cdot b\]
Wegens de keuze van $n$ weten we dat $a>1$ aangezien $11^2|11^{2k+2}|10^n+1$.

Merk als laatste op dat we klaar zijn als we $X$ gelijkstellen aan $bc^2$ voor een bepaalde $c$, waarbij $X$ exact $n$ cijfers bevat. Dit is waar, want hierdoor krijgen we:
\[Y = (10^n+1) \cdot X = (a^2b) \cdot (bc^2) = (abc)^2\]
waardoor $Y$ een kwadraat is.

We bewijzen dat $c = \lceil{\sqrt{\frac{10^{(n-1)}}{b}}}\rceil$ zal voldoen, i.e. dat deze keuze ervoor zorgt dat $X$ uit exact $n$ cijfers bestaat.

We hebben wegens de definitie van de ceilingfunctie dat
\[\sqrt{\frac{10^{(n-1)}}{b}} \le \left\lceil{\sqrt{\frac{10^{(n-1)}}{b}}}\right\rceil = c < {\sqrt{\frac{10^{n}}{b}}}- 1\]

(het is niet moeilijk te bewijzen dat de bovengrens geldt, is gewoon met $\sqrt{10}$ vermenigvuldigd en is equiv. aan bewijzen dat $x+1 < \sqrt{10}x$ en neem $x$ groot genoeg).
Als we bewijzen dat als we de ondergrens vervangen door $c$ we een getal bekomen van $n$ cijfers, en als we bewijzen dat als we de bovengrens vervangen door $c$ we een getal bekomen van $n$ cijfers, hebben we bewezen dat onze keuze voor $c$ goed is.

Het is duidelijk dat
\[X = bc^2 \ge b \cdot \left(\sqrt{\frac{10^{(n-1)}}{b}}\right)^2 = 10^{n-1}\]

Anderzijds hebben we

\[X = bc^2 < b \cdot \left(\sqrt{\frac{10^{n}}{b}}-1\right)^2 < b \cdot \left(\sqrt{\frac{10^{n}}{b}}\right)^2 = 10^n\]

De rechterbovengrens levert het kleinste getal met $n+1$ cijfers op, dus is de andere bovengrens een getal met $n$ cijfers (want de ondergrens is al $n$ cijfers.

Conclusie is dus dat de keuze van $c$ een $X$ met $n$ cijfers oplevert, waardoor we oneindig veel repititieve getallen kunnen genereren.

b) Kies $n=11$. Hierdoor ligt $b$ vast en vind je $c = 4$. Uiteindelijk vind je dat

$X = 13223140496$ het kleinste voorbeeld oplevert.