cyclisch vierkant
Opgave - BaMO 2008 dag 1 vraag 1
Gegeven een scherphoekige driehoek $ ABC$ met $ |AC|>|BC|$ en $ F$ als voetpunt van $ C$ op $[AB]$. Laat $ P$ een punt zijn op $ AB$, $\not = A$ zodat $ |AF|=|PF|$. Zij $ H,O,M$ het hoogtepunt,omcentrum en midden van $ [AC]$. Zij $ X$ het snijpunt van $ BC$ en $ HP$ en $ Y$ 't snijpunt van $ OM$ en $ FX$, laat $ OF$ snijden met $ AC$ in $ Z$. Bewijs dat $ F,M,Y,Z$ een koordenvierhoek vormen.
- login om te reageren
Oplossing
Omdat $\angle ZMO = 90$°, volstaat het te bewijzen dat $\angle ZFY$ ook $90$° is.
Te bewijzen is $OF\perp XF$, omdat $X,Y,F$ op een rechte liggen.
Spiegel $X$ tov $FC$ om $X'$ te bekomen.
dan geldt dat $\angle FAX= \angle FAH = \angle CAO$
en $\angle FCX' = \angle FCX= 90- B = \angle ACO$
Dit betekent dat $O$ en $X'$ isogonaal geconjugeerd zijn tov driehoek $ACF$ wat betekent dat ook $\angle CFX=\angle CFX'= \angle AFO$ en omdat $ \angle CFA = 90^{\circ}$ geldt dat inderdaad geldt dat $OF\perp XF$.