evenwijdigheid bewijzen
Opgave - VWO 2010 dag 1 vraag 3
In een driehoek $ABC$ met $\angle{B}=2 \cdot \angle{A} \not = 90^{\circ}$ geldt dat de binnenbissectrice van $\angle{B}$ de middelloodlijn van $[AC]$ in $D$ snijdt.
Bewijs dat $AB//CD.$
- login om te reageren
Oplossing
Noem $L_A$ het snijpunt van de loodlijn uit $D$ op $AB$, en $L_C$ het snijpunt van de loodlijn uit $D$ op $BC$
Omdat $D$ op de middelloodlijn van $AC$ ligt, is $AD=DC$ en dus $\angle CAD=\angle ACD$
Nu hebben we twee gevallen: ofwel lig $L_A$ tussen $A$ en $B$ ofwel niet. We bewijzen hier eerste, het bewijs voor het tweede geval loopt volledig analoog.
Omdat $L_A$ tussen $A$ en $B$ ligt, ligt $L_C$ niet tussen $B$ en $C$.
Nu geldt er: $\angle AL_AD=\angle CL_CD=90^{\circ}$ en $AD=AC$ en $DL_A=DL_C$ dus driehoeken $ADL_A$ en $CDL_C$ zijn congruent.
dan kunnen we besluiten:
$\angle BAC+\angle ACD=\angle BAC+\angle CAD=\angle BAD=\angle DCL_C
=180^{\circ}-\angle BCA-\angle ACD$
dus:
$\angle BAC=180^{\circ}-(180^{\circ}-3*\angle BAC)-2*\angle ACD=3*\angle BAC-2*\angle ACD$
Hieruit volgt dat $\angle BAC=\angle ACD$
door deze verwisselende binnenhoeken , mogen we besluiten dan $AB//CD.$
We kunnen hier iets handig uit de kast halen: merk op dat de bissectrice van een hoek de middelloodlijn van de overstaande zijde snijdt op de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ (middelloodlijn snijdt midden van de boog, en bissectrice ook, bewijs is zeer eenvoudig).
Opgave wordt nu heel kort: Aangezien $ABCD$ een koordenvierhoek is, geldt dat
$\angle BDC=\angle BAC=\angle ABD$ en de laatste gelijkheid volgt uit het gegeven. Hieruit volgt het resultaat onmiddelijk.