vijfvlak of zevenvlak?
Opgave - VWO 2008 dag 1 vraag 3
Tegen een vierzijdige piramide wordt een tetraëder geplaatst, hierbij hebben beide voorwerpen enkel zijden met lengte $1$ en heben ze $1$ gelijkzijdige driehoek gemeenschappelijk.
Bewijs dat ons nieuw lichaam slechts $5$ zijvlakken heeft.
- login om te reageren
Oplossing
Stel de piramide $ABCDE$ met top $E$, en de tetraëder $CDEF$.
De hoogte uit $F$ op $ED$ van de tetraëder komt neer in het midden $M$ van $[ED]$, zodat $|FM|=|CM|=\frac{\sqrt3}{2}$. Volgens cosinusregel in $\bigtriangleup FMC$ is $\cos\widehat{FMC}=\frac{1}{3}$ dat is de cosinus van de hoek tussen vlakken $EDF$ en $EDC$.
De hoogte uit $B$ op $ED$ komt ook neer in punt $M$. (als dat niet klopt met je figuur gewoon $A$ en $B$ omwisselen) Dus $|BM|=\frac{\sqrt3}{2}$. De loodlijn uit $C$ op $ED$ komt ook neer in $M$. $|CM|=\frac{\sqrt3}{2}$. $|BC|=\sqrt2$ dus met cosinusregel in $\bigtriangleup BMC$ is $\cos\widehat{BMC}=\frac{-1}{3}$ dat is de cosinus van de hoek tussen vlakken $BED$ en $EDC$.
Beide cosinussen zijn tegengesteld, dus omdat de hoeken niet negatief of groter dan $180^\circ$ kunnen zijn, zijn ze niet antisupplementair en dus supplementair waardoor vlakken $BDE$ en $EFD$ één zijvlak vormen. Analoog voor de andere kant.