Home › Archief › Internationale Olympiades › IMO › 1959 › de makkelijkste IMO-vraag ooit!

de makkelijkste IMO-vraag ooit!

Tags:

Opgave - IMO 1959 dag 1 vraag 1

Bewijs dat de breuk $\frac{21n+4}{14n+3} $voor geen enkel natuurlijk getal $n$ vereenvoudigbaar is.

Oplossing

Ingediend door Jonas

Via het algoritme van Euclides vinden we dat $ggd(21n + 4, 14n + 3) = 1$:

$21n + 4 = (14n + 3) \cdot 1 + (7n + 1)$
$14n + 3 = (7n + 1) \cdot 2 + 1$

Daaruit volgt dat de breuk $\frac{21n + 14}{14n + 3}$ voor geen enkel natuurlijk getal $n$ vereenvoudigbaar is.

Ingediend door Nichola

Uit het ongerijmde:

Als de breuk $ \frac{a}{b} $ vereenvoudigbaar is, dan is de breuk $ \frac{2a}{3b} $ ook vereenvoudigbaar.
Dus, als de breuk $ \frac{21n+4}{14n+3} $ vereenvoudigbaar zou zijn, dan zou $ \frac{2(21n+4)}{3(14n+3)} $ dat ook zijn. Maar dit is gelijk aan $ \frac{42n+8}{42n+9} $, en de ggd van teller en noemer van deze breuk kan alleen maar $ 1 $ zijn, aangezien het verschil van teller en noemer $ 1 $ is.
Vereenvoudigen is delen door ggd en $ 1 $ is neutraal bij de deling, dus de breuk is onvereenvoudigbaar. QED.