gemiddeld van producten

Opgave - JWO 2007 dag 1 vraag 3

Wat is het kleinste getal $\overline{xyz}$ bestaande uit $3$ verschillende cijfers $x, y, z$ elk verschillend van $0$ zodat het gemiddelde van de getallen $\overline{xyz},\overline{ xzy}, \overline{yxz}, \overline{yzx}, \overline{zxy}$ en $\overline{zyx}$ een natuurlijk getal is dat eindigt op $0?$
***
opm. $\overline{xyz}$ betekent hier het getal met honderdtal $x$ en zo.

Oplossing

aangezien $\overline{xyz}+\overline{xzy}+\overline{yzx}+\overline{yxz}+\overline{zxy}+\overline{zyx}= q*60 (q \in{N^{+}_0})$
$\Rightarrow 222*(x+y+z)=q*60$
$\Rightarrow (x+y+z)=10$ v $20$

dit geeft als kleinste mogelijkheid $127$
en $(127+172+712+721+217+271)=37*60$

$\Rightarrow \frac{\overline{xyz}+\overline{xzy}+\overline{yzx}+\overline{yxz}+\overline{zxy}+\overline{zyx}}{6}=370$

$\overline{xyz}=127$

De som van de getallen is $200x+20x+2x+200y+20y+2y+200z+20z+2z=222(x+y+z)$
De som van de getallen moet deelbaar zijn door 6.
Altijd deelbaar door 6 want 222 is deelbaar door 3 en 2.
Achter de deling moet 37(x+y+z) deelbaar zijn door 10.
Dus x+y+z moet gelijk zijn aan 10 (of een veelvoud hiervan maar dan is het niet meer het kleinst mogelijke getal).
Het kleinste getal waarvan de som van de cijfers 10 is, is 127.

De som van deze 6 getallen is:

$(100x+10y+z)+(100x+10z+y)+(100y+10x+z)+(100y+10z+x)+(100z+10y+x)+(100z+10x+y)$
$=222x+222y+222z=222(x+y+z)$
Dit moet deelbaar zijn door 6 en 10 dus door 60:

$\frac{222(x+y+z)}{60}=\frac{37(x+y+z)}{10}$

Dus $x+y+z$ moet deelbaar zijn door $10$:

De kleinste combinatie is $x+y+z=10$, als $x=1$ en $y=2$ dan moet $z=7$.

Het kleinste getal is dan $127$.

Doordat het gemiddelde van $6$ getallen genomen wordt en op $0$ eindigt, is de som van deze getallen een veelvoud van $60.$

Hierdoor krijg je de volgende berekening:
$222x + 222y + 222z = 60a$
$111x + 111y + 111z = 30a$

Hieruit kan je afleiden dat $x+y+z$ een veelvoud van $10$ uitkomt.
Door 3 verschillende getallen van 1 cijfer op te tellen, zijn de enige mogelijke veelvouden van $10$ die je kan uitkomen $10$ en $20$.

Je zoekt het kleinst mogelijke getal met $3$ verschillende cijfers die geen 0 zijn, dus je kan al afleiden dat $x < y < z$.

Eerst controleer je of er een oplossing is met $10$ als som (want je moet het kleinste getal vinden):
$x=1$ en $y=2$ (om een zo klein mogelijk getal te maken met cijfers, moet het kleinste vooraan, daarna het 2de kleinste...)
$10-x-y=z=7$ (verder aanvullen tot $10$)
=> $xyz=127$

Controle:
$222x + 222y + 222z = 60a$
$222x1 + 222x2 + 222x7 = 60a$
$222 + 444 + 1554 = 2220 = 60a$
$2220/60 = a = 37$
$a$ is een natuurlijk getal, dus het gezochte getal is $127$