pythagorisch drietal? (titels zijn "illustratief")

Tags:

Opgave - JWO 2007 dag 1 vraag 2

In een driehoek $ABC$ (met hoeken $A,B,C$ en overstaande zijden $a, b, c$) geldt $a = 4, b = 5$ en $C=2A$. Bepaal $c.$

Oplossing

Als we de bissectrice $[CD]$ in $\hat{C}$ beschouwen met $D\in[BA]$

Dan is $\angle CDA= 180-{2\hat{A}}$ en dus is $\angle CDB=2\hat{A}$
$\downarrow$
$\angle{BCA}=\angle{BDC}=2\hat{A}$
$\angle{BAC}=\angle{BCD}=\hat{A}$
$\angle{CBA}=\angle{CBD}=180-3\hat{A}$

$\rightarrow \triangle{ABC}\sim\triangle{CBD}$
$\downarrow$

$\frac{a}{|BD|}=\frac{c}{a}\Leftrightarrow a^2=c*|BD|$

$\frac{a}{|CD|}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow a*b=c*|CD|$

aangezien: $\angle{DCA}=\angle{DAC}=\hat{A}$

$\rightarrow |CD|=|DA|$
$\rightarrow a*b=c*|DA|$

$\Rightarrow a^2+a*b=c*(|BD|+|DA|)$
$\Leftrightarrow a^2+a*b=c^2$
$\Leftrightarrow 36=c^2$

$\Rightarrow c=6$

Je tekent de deellijn van $\hat{C}$ en het snijpunt met $[AB]$ noem je $D$.
Dan is $ \Delta ABC \sim \Delta CBD$ ($\hat{A}=\hat{C}$ en $\hat{B}=\hat{B}$)
Dus $\frac {|AB|}{|CB|}=\frac {|BC|}{|BD|}=\frac {|AC|}{|CD|}$
$\frac {|AB|}{4}=\frac {4}{|BD|}=\frac {5}{|CD|}$
$\Delta ACD$ is gelijkbenig want $ \hat{C} = \hat{A}$
Dus is $|CD|=|AD|$
$|BD|= |AB|-|AD|=|AB|-|CD|$
$\frac {|AB|}{|CB|}=\frac {|BC|}{|AB|-|CD|}=\frac {|AC|}{|CD|}$
$\frac {|BC|}{|AB|-|CD|}=\frac {|AC|}{|CD|}$
$\frac {4}{|AB|-|CD|}=\frac {5}{|CD|}$
$4|CD|=5|AB|-5|CD|$
$|CD|= \frac {5}{9} |AB|$
$\frac {|AB|}{4}=\frac {5}{|CD|}$
$\frac {|AB|}{4}=\frac {5}{\frac {5}{9} |AB|}$
$|AB|^2= \frac {180}{5}=36$
$|AB|=6=c$

$D$ is het snijpunt van de bissectrice van $C$ met $c$.
$\angle ADC = 180^o-2A$
$\angle BDC = 2A$

$\triangle BDC \approx \triangle BCA \left\{
\begin{array}{l l}
H \quad B=B\\
H \quad \angle BDC=C=2A\\
\end{array} \right. $

$\frac{|BD|}{a}=\frac{|CD|}{b}=\frac{a}{c}$

$|BD|=c-|AD|=c-|CD|$

$\frac{c-|CD|}{a}=\frac{a}{c}$

$|CD|=c-\frac{a^2}{c}$ (1)

$\frac{|CD|}{b}=\frac{a}{c}$

$|CD|=\frac{ab}{c}$ (2)

Uit (1) en (2) volgt:

$\frac{20}{c}=c-\frac{16}{c}$

$20+16=c^2$

$c=6$

Blijkbaar zat ik hier zeer dicht bij de oplossing (ik had de doorgestuurde tekening staan), maar heb ik het net niet gezien :(


Mijn oplossing met de tekening dus:
In driehoek ADC:
Hoek C1 (rechterdeel) = Hoek A (bissectrice CD verdeelt hoek C met grootte 2A in 2 gelijke delen => 2 keer A)
=> Driehoek ADC is gelijkbenig met hoek D (rechterdeel) als tophoek

In driehoek ABC en driehoek CBD:
Hoek D = Hoek C (gegeven, berekening via driehoek ADC en supplementaire hoeken)
Hoek B = Hoek B (overeenkomstige hoek)
=> Driehoek ABC ~ Driehoek CBD (via kenmerk Hoek-Hoek)

$c = |BD| + |DA| = |BD| + |DC| = k(|CB| + |CA|) = k(4 + 5) = 9k$
( $k= |BC|/|BA|$ en bissectricestelling)
9k = c = |BA|
k = = 4/9k
k²=4/9
k=2/3
c = 9k=9x2/3 = 6

Cosinus regel: $c^2=4^2+5^2-2*4*5*\cos(2A) = 41-40*cos(2A)$.
Formule cosinus van dubbele hoek [$cos(2A)=2cos^2(A)-1$] toepassen:
$c^2 = 41-40*(2cos^2(A)-1) = 81-80.cos^2(A)$. (1).

Sinus regel: $\frac{sin(A)}4=\frac{sin(2A)}c$, i.e. $ c.sin(A) = 4.sin(2A)$.
Formule sinus van dubbele hoek [$sin(2A)=2.sin(A).cos(A)$] toepassen:
$c.sin(A) = 4.2.sin(A).cos(A)$, i.e. $c = 8.cos(A)$ omdat $sin(A) \not=0$ en dus $c^2 = 64.cos²(A)$. (2).

We hebben nu 2 vergelijkingen in $c^2$ en $cos^2(A)$. Noem $X=cos^2(A)$.
Uit (1) & (2) krijgen we $81-80X = c^2 = 64X$ en dus $ X = \frac{81}{144}. $
Invullen in (2) geeft: $c^2 = \frac{64*81 }{144}$ en dus $c=6.$