gemene autokoper
Opgave - JWO 2004 dag 1 vraag 3
Bij de verkoop van een auto, draait de koper het bordje met de prijs bestaande uit 4 cijfers om (digitaal geschreven) , waardoor hij €$1626$ bespaart.
Wat was de echte prijs van de auto?
- login om te reageren
Oplossing
Enkel de cijfers $0,1,2,5,6,8,9$ hebben een spiegelbeeld.
Het verschil van beide getallen moet $1626$ zijn dus we maken dat verschil...
We plaatsen deze cijfers eerst op de plaats van de eenheden en zoeken een bijhorend cijfer zodat het verschil $6$ is. Automatisch krijgen we ook de duizendtallen, deze mogen enkel een verschil van $1$ of $2$ hebben. Dit zorgt dat enkel $5$ en $6$ in de eenheden in aanmerking komen. Om hier ook een selectie in te maken plaatsen we de cijfers op de plaats van de tientallen, en zoeken het bijhorend tiental waarmee we het verschil blijven maken. Zo bekomen we het honderdtal. Door deze werkwijze zien we alle mogelijke combinaties.
De echte prijs was €$6815$.
****
De uitwerking van de voorbeelden zijn duidelijker te zien op
http://toonijn.x10hosting.com/uploads/bestanden/vraag%203%20JWO%202004_2...
Door dat het bespaarde bedrag$> 1000$ moet het eerste getal $> 1000$ en is het dus geen kommagetal.
$Q(x)$ is de omgedraaide versie van het cijfer $x$
$\Rightarrow [1000a+100b+10c+d]-[(1000*Q(d)+100*Q(c)+10*Q(b)+Q(a)]=1626$
$\{(1000a+d)-[1000*Q(d)+Q(a)]\}+\{(100b+10c)-[100*Q(c)+10*Q(d)]\}=1626$
we zoeken a en d
$(100b+10c)-[100*Q(c)+10*Q(b)] \in [-840,840]$ (60-900 , 900-60)
dus $(1000a+d)-[1000*Q(d)+Q(a)] \in [786,2466]$ (1626-840,1626+840)
doordat het cijfer van de eenheden 6 moet zijn is $d-Q(a) \in \{-4,6\}$
dan bekom je de volgende mogelijkheden voor $(d,A(a))$
$(9,3);(8,2);(7,1);(9,0);(5,9);(4,8);(3,7);(2,6);(1,5);(4,0)$
Maar we kunnen al een deel schrappen doordat $3,7,4$ omgedraaid geen nieuw cijfer bekomen.
en aangezien
$(1000a+d)-[1000*Q(d)+Q(a)] \in [786,2466]$
blijft enkel moeglijkheid $(5,9)$ over.
$\Rightarrow a=6$ [=Q(9)] , $d=5$
we zoeken b en c
$(1000a+d)-[1000*Q(d)+Q(a)]=996$
$\rightarrow (100b+10c)-[100*Q(c)+10*Q(b)] =630$
$\Rightarrow c-Q(b) \in \{-7,3\}$
wat voor $(c,Q(b)$ de mogelijkheden: $(1,8);(2,9);(5,2);(8,5);(9,6)$ geeft
maar $b> Q(c)$ waardoor alleen $(1,8);(2,9)$ en $(9,6)$ overblijven.
deze vullen we in in $\rightarrow (100b+10c)-[100*Q(c)+10*Q(b)]$:
$960-690= 270$
$620-290= 330$
$810-180= 630$
$\Rightarrow b=8, c=1$
$\Rightarrow a=6, b=8, c=1, d=5$
$\Rightarrow [1000a+100b+10c+d]=6815$
$\Box$