meetkundige gelijkheid

We benoemen de hoeken $\angle ABC$ en $\angle BAC$ respectievelijk als $2y$ en $y$.

Stel eerst dat $2y$ scherp of recht is.

Teken een hoogtelijn uit $C$ die loodrecht staat op $AB$. Het snijpunt met $AB$ noemen we $D$.
$|BD|$ noemen we $x$. Dan geldt $|AD|=c-x$ omdat $2y$ scherp is. Dan geldt volgens de stelling van Pythagoras:

$x^2+|CD|^2= a^2$ en $(c-x)^2 + |CD|^2 = b^2$

werken we dit verder uit is $c^2 - 2cx = b^2 - a^2$. Aangezien we moeten bewijzen dat $b^2 - a^2 = ac$ moet $c^2 - 2cx$ gelijk zijn aan $ac$. (1)

Nu tekenen we vanuit $C$ een lijnstuk $[CE]$ waarbij $E$ op $AB$ ligt en geldt $|DE| = x = |BD|$. Dan is $|AE|$ gelijk aan $c - 2x$. Aangezien driehoek $\Delta BCD$ gespiegeld om $CD$ gelijk is aan driehoek $\Delta ECD$ is $|BC| = |EC| = a$. Aangezien dit een gelijkbenige driehoek is is hoek $\angle BEC = \angle ABC = 2y$. Dan is $\angle CEA = 180° - 2y$. Door middel van de hoekensom in de driehoek $\Delta CEA$ is hoek $\angle ECA = y = \angle CAE$. Doordat dit een gelijkbenige driehoek is, zal $|EA| = |CE| = a = c - 2x$.

Nu werken we de gegevens uit:
$a = c - 2x$

$ac = c² - 2cx$ (2)

uit (1) en (2) volgt dat $b^2 - a^2 = ac$
$b^2 = ac + a^2$
$b^2= a(c+a)$

Stel nu dat $2y$ stomp is.
Nu geldt dat $|AD|=c+x$. Analoog als hiervoor zal dan
$|AD|^2 + |DC|^2 = b^2$ en $|BD|^2 + |DC|^2 = a^2$
dan is $b^2-|AD|^2 = a^2 - |BD|^2$ en dus
$b^2-a^2 = |AD|^2-|BD|^2$
$b^2-a^2 = (c+|BD|)^2-|BD|^2$
$b^2-a^2 = c^2 + 2c|BD|^2$ (1)

Het TB wordt nu $c^2+2c|BD| = ac$ of $c+2|BD| = a$.

Nu tekenen we uit $C$ een rechte $EC$ waarbij $E$ op $AB$ ligt en $|BD| = |DE|$ .
Via congruentiekenmerk ZHZ geldt dan dat $\Delta EDC = \Delta BDC$
$\angle DBC = 180°-2y = \angle CED$. Dankzij hoekensom in $\Delta ECA$ weten we dat hoek $\angle ECA = y$. Hieruit volgt dat $\Delta ECA$ gelijkbenig is. Dus is
$ a = c + |DB|+|ED| $
$a = c + 2|DB| $
$ac = c^2 + 2c|DB|$ (2)

Uit (1) en (2) volgt dat $b^2-a^2 = ac $ of $b^2 = a(c+a)$.