Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › JWO › 2010 › koppel natuurlijke getallen vinden

koppel natuurlijke getallen vinden

Tags:

Opgave - JWO 2010 dag 1 vraag 2

Vind alle natuurlijke getallen $a,b$ zodat
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$

Oplossing

Ingediend door Rebhood

$a<6$
anders is: $\frac{1}{a}<\frac{1}{6}$

en kan je nooit $\frac{1}{6}$ bekomen aangezien $\frac{1}{b} \in N$
dus:
$a=1$ geeft dat $b=\frac{6}{5}$, maar dat is niet natuurlijk, analoog

$a=2$ - $b=3$
$a=3$ - $b=6$
$a=4$ - $b=12$
$a=5$ - $b=30$

dus alle koppels voor $(a,b)$ zijn
$(2,3)$
$(3,6)$
$(4,12)$
$(5,30)$

Ingediend door Thibo

De noemers moeten weggewerkt worden, dus zoeken we het kleinst gemeenschappelijk veelvoud : $6.a.b = 6ab.$ De vergelijking wordt : $\frac{6b}{6ab} - \frac{6a}{6ab} = \frac{ab}{6ab}$

We mogen de noemers weglaten : $6b - 6a = ab$

We proberen dat a = 1. Hieruit volgt dat $6b - 6 = b \Leftrightarrow - 6 = - 5b \Leftrightarrow b= - \frac{5}{6}$
b is geen element van $\mathbb{N}$

We proberen $a = 2.$ Hieruit volgt dat $6b - 12 = 2b \Leftrightarrow 4b - 12 = 0 \Leftrightarrow b = 3$

We proberen $a = 3.$ Hieruit volgt dat $6b - 18 = 3b \Leftrightarrow 3b - 18 = 0 \Leftrightarrow b = 6$

We proberen $a = 4.$ Hieruit volgt dat$ 6b - 24 = 4b \Leftrightarrow 2b - 30 = 0 <=> b = 15$

We proberen $a = 5.$ Hieruit volgt dat $6b - 30 = 5b \Leftrightarrow b - 30 = 0 <=> b = 30$

We proberen of $a = 6$ werkt. Hieruit volgt dat $1/6 - 1/b = 1/6 \Leftrightarrow - 1/b = 0 \Leftrightarrow b.0 = -1$
Dit is onmogelijk.

Wanneer $a\ge7$ geldt dat $6b-6a<6b < ab$ binnen de natuurlijke getallen en dus kan er geen gelijkheid gelden oorspronekelijk ($b,a>0$)

De $4$ oplossingen zijn :
$(2,3) , (3,6) , (4,15) , (5,30).$