Pita Goras

Opgave - JWO 2010 dag 1 vraag 4

Bij de boekhouding van Pita Goras, ziet de baas dat de som van iedere 5 opeenvolgende getallen positief is.
De boekhouder ziet echter dat de som van elke opeenvolgende 7 termen negatief is.
Hoeveel getallen kunnen er maximaal in de boekhouding voorkomen?

Oplossing

We kijken eerst of $11$ getallen een mogelijkheid is.

$x_3+x_4+x_5+x_6+x_7>x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7$
$x_1+x_2<0$

$x_4+x_5+x_6+x_7+x_8>x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8$
$x_2+x_3<0$

$x_5+x_6+x_7+x_8+x_9>x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9$
$x_3+x_4<0$

$x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}>x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}$
$x_4+x_5<0$

$x_7+x_8+x_9+x_{10}+x_{11}>x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}+x_{11}$
$x_5+x_6<0$
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5>x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7$
$x_6+x_7<0$

En zo verder:
$x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}+x_{i+5}>x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}+x_{i+5}+x_{i+6}+x_{i+7}$
$\Rightarrow x_{i+6}+x_{i+7}<0$ en dit voor alle $i \in \{1,2,3,4\}$

Er is nu bewezen dat de som van $2$ opeenvolgende termen negatief moet zijn,
door $3$ opeenvolgende groepjes te nemen zien we dat
$x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}+x_{i+5}+x_{i+6}< 0$ $\forall i \in \{0,1,2,3,4\}$

Dus de som van alle 6 opeenvolgende getallen negatief.

$(x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}+x_{i+5})+x_{i+6}=x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}+x_{i+5}+x_{i+6}<0$
en $x_{i+1}+(x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}+x_{i+5}+x_{i+6})= x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}+x_{i+5}+x_{i+6}<0$
Aangezien de som van de $5$ opeenvolgende getallen positief is, geldt dat resp. $x_{i+6},x_{i+1}$ negatief zijn.
Op die manier zou iedere $x < 0$ en dit kan natuurlijk niet, dus $11$ of meer getallen op het blad is onmogelijk.

$10$ getallen kan wel want je kan nooit bewijzen dat $x_5+x_6 < 0$ Dus kan je ook nooit zeggen dat de som van de 6 opeenvolgende getallen negatief moet zijn, $10$ getallen kan wel met vb. de rij:

$5,-7,5,-7,5,5,-7,5,-7,5$