verhouding van zijden
Opgave - VWO 2010 dag 1 vraag 2
Een parallellogram met een hoek van $60$° heeft als langste zijde lengte $a$ en als kortste zijde $b$ . Laten we de loodlijnen neer uit de hoekpunten van de stompe hoeken op de langste diagonaal, dan wordt deze hierdoor in drie gelijke delen verdeeld. Bepaal de verhouding $\frac{a}{b}$
- login om te reageren
Oplossing
Stel $a=|AB|=|GF|$, $b=|AG|=|BF|$, $y = |GE| = |DB|$ en $x=|AE|=|ED|=|DF|$.
Zonder verlies van algemeenheid kunnen we $a$ gelijk stellen aan $1$.
$a^2=(2x)^2+y^2$,
$b^2=x^2+y^2$ en
$(\frac{3}{2}y)^2 = b^2 + (\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{2}b\cos(60^\text{o})$
Deze 3 kunnen we uitwerken tot:
$4b^2-1=3y^2$ en
$y^2=\frac{4b^2+1-2b}{9}$^
Substitutie:
$4b^2-1=\frac{4b^2+1-2b}{3}$
$4b^2+b-2=0$
$b = \frac{\sqrt{33}-1}{8}$. ($b$ moet positief zijn.)
Opgave:
$\frac{a}{b} = \frac{8}{\sqrt{33}-1} = \frac{1+\sqrt{33}}{4}$
We noemen de hoekpunten van de parallellogram in wijzerzin, beginnende met een hoek van $60$°, $A$, $C$, $B$ en $D$, waarbij $a=|AD|$ en $b=|AC|$ De loodrechte projectie van $B$ op $AD$ noemen we $B'$.
Omwille van het gegevene is $B=60$° en dus $\widehat{DBB'}=30$° .Via sinus en cosinus kunnen we dus eenvoudig stellen dat $|BB'|=\sqrt{3}b/2$ en $|DB'|=b/2$. We hebben nu dus de rechthoekszijden van driehoek $ABB'$ en berekenen met pythagoras $|AB|$:
$|AB|^2=3b^2/4 + a^2 + ab + b^2/4 = a^2 + b^2 + ab$
We projecteren $C$ op $AB$, verkrijgen zo $C'$ en passen in de verkregen rechthoekige driehoeken ($ACC'$ en $BCC'$) opnieuw pythagoras toe om CC' te berekenen:
$a^2-4|AB|^2/9 = b^2 - |AB|^2/9$
$3a^2-3b^2=|AB|^2$
We kunnen dus gelijkstellen en verkrijgen:
$3a^2 - 3b^2 = a^2 + b^2 + ab$
$2a^2 - ab - 4 b^2=0$
We delen nu alles door $b^2$
$2(a/b)^2 - a/b - 4 = 0$
Lossen we deze VKV op, dan verkrijgen we één positieve oplossing, die direct de verhouding tussen a en b is:
$a/b=(1+\sqrt{33})/4$
We noemen de parallellogram $ACBD$ met $|AC|=a$ en $|BC|=b$ .
Laten we de loodlijnen uit de stompe hoeken $A$ en $B$ op de diagonaal $|CD|$ respectievelijk $l_{1}^{}$ en $l_{2}^{}$ noemen. ($l_{1}=l_{2}$)
De loodlijnen delen $|CD|$ in drie stukken. Laten we één zo'n stukje $d$ noemen.
Dan volgen 3 vergelijkingen:
1) $b^{2}=l^{2}+d^{2}$
2) $a^{2}=l^{2}+4d^{2}$
3) $9d^{2}=a^{2}+b^{2}+ab$ (cosinusregel in driehoek BDC)
We weten ook dat in de parallellogram de diagonalen elkaar middendoor snijden. We tekenen nu diagonaal $AB$ . Het snijpunt tussen de 2 diagonalen noemen we $M$ en het voetpunt van $l_{1}$ op diagonaal $CD$ noemen we $P$ . Dan volgt:
$|AM|^{2}=|PM|^{2}+|AP|^{2}$
$|AM|^{2}=(d^{2}/4)+l^{2}$
( $|AP|=l$ en $|PM|=d/2$ )
Stel $|AM|=k$. Nu passen we de cosinusregel toe op driehoek ABD:
$4k^{2}= a^{2}+b^{2}-ab$
$4b^{2}-3d^{2} = a^{2}+b^{2}-ab$
( $l^{2} = k^{2}-(d^{2}/4)$ en $l^{2} = b^{2}-d^{2}$ dus $k^{2} = b^{2}-(3d^{2}/4)$)
$3b^{2}-a^{2}+ab=3d^{2}$
$9b^{2}-3a^{2}+3ab=9d^{2}$
$9b^{2}-3a^{2}+3ab=a^{2}+b^{2}+ab$ (derde vergelijking inpassen)
$4b^{2}-2a^{2}+ab=0$
stel $x=a/b$ dan krijgt men $-2x^{2}+x+4=0$ en is $x=(1+\sqrt{33})/4$