meetkundige limiet
Opgave - VWO 2009 dag 1 vraag 3
Beschouw een lijnstuk $[AB]$ met midden $M$ en middelloodlijn $m$
Voor elk punt $X \not = M$ om $m$ beschouwen we het snijpunt $Y$ van de rechte $BX$ met de bissectirice van de hoek $\angle{BAX}$, als $X$ tot $M$ nadert,
naar welk punt van $[AB]$ nadert $Y$ dan?
- login om te reageren
Oplossing
Neem het assenstelsel met oorsprong $M$ zodat $A(-1,0)$, $B(1,0)$, $X(0,a)$.
De vgl van $AX$ is nu $y=ax+a$, die van $AB$ is $y=0$, die van $BX$ is $y=a-ax$.
Voor de bissectrice $AY$ van hoek $\widehat{XAB}$ geldt:
$\frac{|ax-y+a|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\frac{|y|}{\sqrt{1^2+0^2}}$
$|ax-y+a|=y\sqrt{a^2+1}$
$y=\frac{ax+a}{1+\sqrt{a^2+1}}$
We zoeken naar de x-waarde van het snijpunt van $AY$ met $BX$:
$a-ax=\frac{ax+a}{1+\sqrt{a^2+1}}$
Dat geeft $x=\frac{\sqrt{a^2+1}}{2+\sqrt{a^2+1}}$
En als $a$ naar $0$ nadert gaat dit naar $\frac{1}{3}$.
Dus zal $Y$ naderen naar $\frac{1}{3}$ van de oorsprong, dus op $\frac{2}{3}$ van het lijnstuk $[AB]$ liggen (vanuit $A$ bekeken).
Ter herinnering, de bissectricestelling: Beschouw een driehoek $\Delta UVW$ en zij $\ell$ de binnenbissectrice van de hoek $\widehat{U}$. Zij $P$ het snijpunt van $\ell$ met $VW$. Dan is $|VP|/|WP| = |VU|/|WU|$. Er bestaan verschillende bewijzen, maar het eenvoudigste (maar niet het mooiste) gaat als volgt: $|VP|/|VU| = \sin(\widehat{PUV})/\sin(\widehat{UPV}$ en $|WP|/|WU| = \sin(\widehat{PUW})/\sin(\widehat{UPW})$, en gebruik nu dat $\widehat{PUV} = \widehat{PUW}$ en $\widehat{UPV} = 180^\circ - \widehat{UPW}$.
De opgave is nu een twoliner: de bissectricestelling in de driehoek $\Delta BAX$ levert ons op dat $|AX|/|AB| = |XY|/|YB|$. Laat nu $X\to M$, dan wordt het linkerlid $|AM|/|AB| = 1/2$ en het rechterlid $|MY|/|YB|$, waaruit volgt dat $|MY| = 2|YB|$ in de limiet, en dit legt de limietpositie van $Y$ op het lijnstuk $[MB]$ vast.
We weten dat $∠ABY = ∠BAX$ en $∠BAY = ∠BAX/2$ en wegens de sinusregel geldt
$sin(∠BAY)*||AY|| = sin(∠ABY)*||BY||$ (= afstand van $X$ tot $AB$).
Als $X$ nadert tot $M$ worden deze hoeken infinitisimaal klein, en dan geldt voor een kleine hoek $Z$ dat $sin(Z) \sim Z$
en in dat geval: $||AY||/2 \sim ||BY||$, oftewel het punt $Y$ nadert naar $2/3$ van het lijnstuk $[AB]$