delen door grote getallen
Opgave - JWO 2008 dag 1 vraag 1
1.
Kan een getal dat enkel uit zevens bestaat deelbaar zijn door $99?$
2.
Motiveer of een getal uitsluitend bestaand uit negens deelbaar kan zijn door $7$ $777$$777?$
opmerking door beheerder:
Ieder oneven getal dat geen vijfvoud is, kan de deler zijn van een getal met enkel enen, is een iets algemener resultaat.
- login om te reageren
Oplossing
1.Als het getal deelbaar is door $99$ moet het deelbaar zijn door $11$ en $9.$
- Het getal moet een even aantal negens hebben om deelbaar te zijn door $11$$ (1)$
-Het getal is deelbaar door 9 als de som van alle cijfers deelbaar is door negen,
dit is voldaan als je een 9-voud keer een 7 hebt (om deelbaar te zijn door 9) $(2)$
-Uit (1) en (2) volgt dat het aantal zevens deelbaar moet zijn door $2$ en $9.$
Dit is zo als je getal uit $18*n$ zevens bestaat (het kgv van 2 en 9 is 18).
Hierbij is $n$ een natuurlijk getal en is $18n$ de algemene oplossing.
***
2.Als het getal deelbaar is door 777 777 7 asa het deelbaar is door 7 en door 111 111 1 (want deze 2 getallen zijn relatief priem)
-Het getal is deelbaar door 111 111 1 als het $7x$ negens bevat. (1)
-Nu kijken we wanneer het getal deelbaar is door 7.
We cijferen 999999999.../7 tot de rest begint te repeteren of tot de rest 0 is.
We zien dat de rest na 6 negens 0 is, het getal moet dus uit $y*6$ negens bestaan (om deelbaar te zijn door 7) (2)
-Uit (1) en (2) volgt dat het aantal negens deelbaar moet zijn door 6 en 7.
Het kgv van 6 en 7 is 42, dus moet het getal uit $n*42$ negens bestaan om deelbaar te zijn door 777 777 7.