Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › JWO › 2009 › record handjes schudden

record handjes schudden

Tags:

Opgave - JWO 2009 dag 1 vraag 1

Op $29/09/2009$ komen precies $2009$ Belgen samen om het record handjes schudden te verbreken.
Iedereen schudt een ander precies één keer de hand.
$2$ Van de aanwezigen zijn Thomas en Nathalie:
Nathalie zei op het einde dat ze 5 keer zoveel Vlamingen als Brusselaars de hand had gegeven.
THomas antwoordde met "Ik heb precies $3$ keer zoveel Walen als Brusselaars een hand geschud.". Uit welk gewest komen Nathalie en uit welk gewest komt Thomas ?

Oplossing

Ingediend door TVdvd

Komt Nathalie uit (1)
Vlaanderen dan weet je: $V=5B+1$
Wallonië dan weet je: $V=5B$
Brussel dan weet je:$ V=5B-5$
***
Komt Thomas uit (2)
Vlaanderen dan weet je: $W=3B$
Wallonië dan weet je: $W=3B+1$
Brussel dan weet je: $W=3B-3$
***
We weten dat $(1)+(2)+B=2009$
$(5B+x)+(3B+y)+B=2009$
$2009\equiv 2 \pmod {9}, 9B+x+y \equiv 0+x+y \pmod {9}$
$x+y\equiv 2 \pmod {9}$, dit kan alleen als Nathalie in Vlaanderen woont en Thomas in Wallonië.
uitleg: $x,y\le 1$ $x\ge -5,y \ge-3$
het is simpel te zien dat de som $-8$ is of groter dan $-7$ en dus $2$ moet zijn.
Het aantal Brusselaars is $223$

Nathalie woont in Vlaanderen en Thomas in Wallonië.

Ingediend door Rebhood

T=Thomas
N=Nathalie
kunnen ze uit hetzelfde gewest komen?
Neen want dan krijg je dat ze exact allebei evenveel walen,brusselaars als vlamingen de hand schudden en doordat $2008$ niet deelbaar is door $9 (5+3+1)$ kan dit niet.
we kiezen een aantal aanwezige brusselaars en berekenen voor iedere mogelijkheid :

hier zijn de gebruikte formules in excel zodat je de beredenering kunt volgen:

zoals je kunt zien is bij 222 brusselaars het totaal aantal minder als 2009 en bij 224 brusselaars het aantal meer. Bij 223 brusselaars is de enigste mogelijkheid die 2009 uitkomt dat Nathalie een vlaming is en Thomas een waal