JWO-ongelijkheid
Opgave - JWO 2002 dag 1 vraag 1
Bewijs dat $\forall a,b,c \in \mathbb{R}^+_0$ er geldt dat $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab} \ge \frac2a+\frac2b-\frac2c$ en zeg wanneer er gelijkheid geldt.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
$\frac{a^2+b^2+c^2}{abc} \ge \frac{2bc+2ac-2ab}{abc}$
$a^2+b^2+c^2 \ge 2bc+2ac-2ab$
$a^2+b^2+c^2 \ge 2c(a+b)-2ab$
$a^2+b^2+c^2+2ab \ge 2c(a+b)$
Nu zoeken we wanneer $a^2+b^2+c^2+2ab = 2c(a+b)$
$c^2-2(a+b)c+a^2+b^2+2ab=0$
De discriminant is 0 dus heeft de gelijkheid 1 oplossing: $c=\frac{2a+2b}{2}=a+b$
Je hebt dus gelijkheid als c=a+b.
Anders is $c^2-2(a+b)c+a^2+b^2+2ab > 0$ ; $a^2+b^2+c^2+2ab > 2c(a+b)$
opm.: dit komt overeen met $(c-(a+b))^2\ge 0$ wat duidelijk klopt.
$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab} \ge \frac2a+\frac2b-\frac2c$
$a^2 + b^2 + c^2 \geq 2bc + 2ac - 2ab$ (overal vermenigvuldigen met abc)
$a^2 + b^2 + c^2 - 2bc - 2ac + 2ab \geq 0$
$(a + b - c)^2 \geq 0$
$a + b - c \geq 0$ (vierkantswortel van beide kanten)
Je krijgt dus gelijkheid wanneer $a + b - c = 0$ of m.a.w. $a$ en $b$ samen even groot zijn als $c$.