Home › Archief › Universitaire Competities › PUMA › 2010 › Limiteren, limiteren, wie zijn best doet zal het leren

Limiteren, limiteren, wie zijn best doet zal het leren

Tags:

Opgave - PUMA 2010 vraag 2

Bereken $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\cos{x}\right)^{\cot{2x}}$.

Oplossing

Ingediend door PRIME

We hebben dat
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\left(\cos{x}\right)^{\cot{2x}} = \lim_{x\rightarrow 0} e^{\cot{2x} \ln\left(\cos{x}\right)}
= e^{\lim_{x\rightarrow 0}\left( \cot{2x} \ln \left(\cos{x}\right)\right)},
$$
toepassing van de regel van l'Hôpital impliceert dat
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \cot{(2x)} 0\ln \left(\cos{x}\right)\right) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos{(2x)}\ln\left(\cos{(2x)}\right) }{\sin{(2x)}} \buildrel{\text{DH}}\over{=} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\sin{(2x)} \frac{-2\sin{(2x)}}{\cos{(2x)}}}{2\cos{x}}= 0.
$$
Hieruit volgt dat de gevraagde limiet gelijk is aan $e^0 = 1$.

Ingediend door BChevalier

We beginnen met

$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\cos{(x)}\right)^{\cot{(2x)}} = \lim_{x\rightarrow 0} e^{\cot{(2x)} \cdot\ln\left(\cos{(x)}\right)}= e^{\lim_{x\rightarrow 0}\left( \cot{(2x)} \cdot\ln \left(\cos{(x)}\right)\right)}$

Vervolgens werken we de limiet apart uit, waarbij de cotangens wordt omgezet.

$\lim_{x\rightarrow 0}\left( \cot{(2x)} \cdot \ln \left(\cos{x}\right)\right)= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left(\cos{(x)}\right)\cdot\cos{(2x)}}{\sin{(2x)}}$

Deze limiet splitsen we op en daarna voeren we op het linker deel de l'Hôpital uit

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left(\cos{(x)}\right)}{\sin{(2x)}} \cdot \lim_{x\rightarrow 0}\cos{(2x)}\buildrel{\text{DH}}\over{=} -\frac{1}{2}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}\cdot\cos{(2x)}}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\cos{(2x)}=0$

Na vereenvoudiging krijgen we dus gemakkelijk dat de limiet nadert naar nul.

Bijgevolg is de oplossing van de opgave gelijk aan $e^0=1$