Loterij
Opgave - PUMA 2009 vraag 6
De loterij van Decimalië geeft formulieren uit waarop je 10 cijfers kan invullen (bv. $0000000000$ of $0123456789$ of $9486344992$). Je "wint" de lotto zodra je een lotje hebt dat minstens twee cijfers juist heeft. Vind een combinatie van 14 invulmogelijkheden, zodat als je deze invult je met zekerheid minstens één maal "wint".
- login om te reageren
Oplossing
De rijen van de matrices $$\begin{bmatrix}
0&0&0&0&0&0&1&1&1&1\\
0&0&0&1&1&1&0&0&0&1\\
0&1&1&0&0&1&0&0&1&0\\
1&0&1&0&1&0&0&1&0&0\\
1&1&0&1&0&0&1&0&0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
2&2&2&2&2&2&2&2&2&2\\
3&3&3&3&3&3&3&3&3&3\\
4&4&4&4&4&4&4&4&4&4\\
5&5&5&5&5&5&5&5&5&5\\
6&6&6&6&6&6&6&6&6&6\\
7&7&7&7&7&7&7&7&7&7\\
8&8&8&8&8&8&8&8&8&8\\
9&9&9&9&9&9&9&9&9&9\end{bmatrix}$$
vormen samen een voorbeeld van een dergelijke invulcombinatie. Immers, iedere lottotrekking heeft ofwel tweemaal hetzelfde cijfer, ofwel zeker het cijfer 0 én het cijfer $1$. Als nul tweemaal voorkomt, dan zal (ongeacht op welke twee posities) er steeds een rij in de linkse matrix zijn waarbij die twee posities ook $0$ zijn. Als een niet-nul cijfer tweemaal voorkomt, dan zal de corresponderende rij in de rechtse matrix in minstnes twee posities gelijk zijn aan de lotto-trekking. Als voorgaande niet het geval zijn, moet ieder cijfer éénmaal voorkomen, dus moet er precies één $1$ en één $0$ voorkomen. Ongeacht de precieze positie heeft ook steeds minstens één van de rijen uit de linkse matrix op die posities ook respectievelijk $1$ en $0$.