Home › Archief › Universitaire Competities › PUMA › 2009 › Fixrechte

Fixrechte

Tags:

Opgave - PUMA 2009 vraag 4

  1. Zij $V = \mathbb{R}^{2008}$ en zij $A$ een niet-singuliere $2008 \times 2008$ matrix. Bestaat er noodzakelijk een rechte door de oorsprong die door $A$ op zichzelf afgebeeld wordt?
  2. Zij $V = \mathbb{R}^{2009}$ en zij $A$ een niet-singuliere $2009 \times 2009$ matrix. Bestaat er noodzakelijk een rechte door de oorsprong die door $A$ op zichzelf afgebeeld wordt?

Ter info: In een reële vectorruimte $V$ noemen we $\mathbb{R}\vec{v} = \{c\vec{v} c \in \mathbb{R}\}$ de rechte opgespannen door de vector $\vec{v}$. De rechten $\mathbb{R}\vec{v}$ met $\vec{v} \in V$ zijn meetkundig gezien dus precies de rechten door de oorsprong. Als $A$ een matrix is die op $V$ inwerkt, dan zeggen we dat $A$ de rechte $\mathbb{R}\vec{v}$afbeeldt op de rechte $\mathbb{R}(A\vec{v})$.

Oplossing

Ingediend door PRIME

Dat een rechte $\ell=\mathbb{R}\vec{v}$ op zichzelf afgebeeld wordt, wil per definitie zeggen dat $\mathbb{R}A\vec{v}=\mathbb{R}\vec{v}$, dus dat $A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ voor zekere $\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Met andere woorden, dit is zo als en slechts als $A$ een reële eigenwaarde $\lambda$ heeft (met noodzakelijk $\lambda\neq 0$ is daar $A$ niet-singulier is).

  1. Een voorbeeld van een niet-singuliere reële $2\times 2$ matrix zonder reële eigenwaarden is $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, gezien zijn karakteristieke veelterm $x^2+1$ is en deze geen reële nulpunten heeft. Hiermee kunnen we een niet-singuliere $2008\times 2008$ matrix construeren:
    $$\left(\begin{smallmatrix}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots&&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{smallmatrix}\right).$$ Deze heeft als karakteristieke veelterm $(x^2+1)^{1004}$, een veelterm zonder geen reële nulpunten, dus de matrix heeft geen reële eigenwaarden. De stelling is dus vals.
  2. De karakteristieke veelterm van een $2009\times 2009$-matrix heeft graad $2009$, en een veelterm van oneven graad heeft altijd een reëel nulpunt (want gaat continu van $-\infty$ naar $+\infty$). De stelling is dus waar.