vind alle drietallen

Opgave - BrMO 2 1995 vraag 1

Vind alle drietallen van natuurlijke getallen $(a,b,c)$ zodat
$$\displaystyle{\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right)\left(1+\frac1c\right)=2}.$$

Oplossing

Stel zonder verlies van algemeenheid $a\geq b\geq c$. We zien nu dat $c\leq3$ (anders is de linkerzijde < 2) en aangezien $(1+1/a)(1+1/b)$ groter moet zijn dan 1, hebben we enkel de mogelijkheden $c=2$ of $c=3$.
Nemen we $c=2$, dan zien we op dezelfde manier dat $4\leq b\leq6$ en we krijgen de drietallen $(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2)$ als oplossingen.
Zelfde redenering voor $c=3$, dan zien we dat $3\leq b\leq4$ en zo vinden we de laatste oplossingen $(8,3,3),(5,4,3)$.