koorden op een cirkel

Opgave - BrMO 2 1994 vraag 3

$AP, AQ, AR, AS$ zijn koorden op een gegeven cirkel zodat $\angle PAQ=\angle QAR=\angle RAS$. Bewijs dat $AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)$.

Oplossing

In dit bewijs zal ik naar $\left | XY \right |$ verwijzen met $XY$.

(1) Merk op dat $PQ=QR=RS$, omdat gelijke omtrekshoeken gelijke koorden hebben en $\widehat{PAQ}=\widehat{RAQ}=\widehat{RAS}$ volgens het gegeven. Om dezelfde reden geldt $PR=QS$ (maar nu met $\widehat{PAQ}+\widehat{RAQ}=\widehat{RAQ}+\widehat{RAS}$)

(2) Volgens de stelling van Ptolemaeus geldt in de koordenvierhoeken $APQR$ en $ASRQ$ resp. $AQ \cdot PR=AR\cdot PQ + QR \cdot AP$ en $AR\cdot QS =RS\cdot AQ+QR\cdot AS$.
$\Leftrightarrow AQ \cdot PR=AR\cdot PQ + PQ \cdot AP$ en
$AR\cdot PR =PQ\cdot AQ+PQ\cdot AS$

De twee gelijkheden vermenigvuldigen (het linkerlid van de ene vergelijking met het rechterlid van de andere), heeft ons: $PQ \cdot PR \cdot AQ (AQ +AS)=PQ \cdot PR \cdot AR (AR +AP) \Leftrightarrow AQ(AQ+AS)=AR(AR+AP)$ Q.E.D.