diophantische vergelijking

Uit $x\leq y \leq z$ halen we $\frac{1}{x}\geq \frac{1}{y}\geq \frac{1}{z}$
Bijgevolg is $3 \leq (1+\frac{1}{x})^3$, waaruit we $x=1,2$ halen (want $x\geq 3$: $ 3 \leq (1+\frac{1}{x})^3 \leq (1+\frac{1}{3})^3 = \frac{64}{27}$ contradictie.)

Situatie 1:
$x=1$
Invullen in de vergelijking geeft:
$(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z}) = \frac{3}{2}$
$\iff 2yz + 2y + 2z + 2 = 3yz$ (LL uitwerken en dan LL en RL met $2yz$ vermenigvuldigen)
$\iff z = \frac{2y+2}{y-1}$
$ggd(2y+2,y-1) = ggd(y-2,y+4) = ggd(y-2,6)$ (We zoeken de grootste gemeenschappelijke deler tussen de teller en de noemer, want opdat $z$ een natuurlijk getal is, moet de noemer een deler zijn van de teller en moet de $ggd(Teller,Noemer) \geq 1$)
$\rightarrow y\leq 8$
Als we nu waardes van $y \in [2,8]$ (groter of gelijk aan 3 want de noemer moet positief en groter dan 0 zijn, en een natuurlijk getal), proberen vinden we, rekening houdend met $y\leq z$:
$(x,y,z) = (1,3,8),(1,4,5), (1,2,4)$

Situatie 2:
$x=2$
Invullen in vgl:
$(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z}) = 2$
$\iff yz+y+z+1=2yz$
$\iff z=\frac{y+1}{y-1}$
$ggd(y+1,y-1) = ggd(y-1,2) \Rightarrow y\leq 3$
Waardes proberen van $y \in [2,3]$ proberen geeft, rekening houdend met $y\leq z$:
$(x,y,z) = (2,2,3)$

Alle oplossingen zijn dus:
$(x,y,z) = (2,2,3), (1,3,8), (1,4,5), (1,2,4)$